Ряды Фурье

Рассмотрим функциональные ряды, суммы которых, в отличие от степенных рядов, имеют непустое конечное множество точек разрыва в области задания.

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Другими словами, область ее определения можно разбить на конечное число частичных отрезков , на каждом из которых:

1. функция ограничена и непрерывна во внутренних точках;

2. На концах каждого отрезка существуют конечные односторонние пределы ,

Под интегралом функции понимается число

Можно доказать, что для кусочно-непрерывной на отрезке функции существует обобщенная первообразная (, ), и, следовательно, .

Функция называется кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на , если производная кусочно-непрерывна на отрезке .

Пусть функции и кусочно-непрерывны на отрезке . Скалярное произведение этих функций можно определить как

.

Можно показать, что произведение двух кусочно-непрерывных на отрезке функций есть функция кусочно-непрерывная на этом отрезке и, следовательно, ее определенный интеграл на этом отрезке существует.

Тогда , .

Число называется нормой функции .

Очевидны свойства скалярного произведения:

1. – свойство коммутативности или симметрии
2. – свойство ассоциативности или сочетательности
3. , причем

Функции и называются ортогональными, если , при этом ,

Рассмотрим основную систему тригонометрических функций общего периода :

Функции

,

и

,

называются основными гармониками. Их графиками являются синусоиды с амплитудами соответственно и . Гармоника и поэтому не рассматривается.

Лемма. Основные тригонометрические функции попарно ортогональны на любом промежутке, длина которого равна общему периоду этих функций, т.е. для стандартного отрезка справедливы условия ортогональности:

I. при

II. при

III.

Условия ортогональности проверяются непосредственным интегрированием, в ходе которого используются формулы тригонометрии:

1)

2)

3) .

Например, при

1)

т.к. при целых значениях .

2)

3)

Пусть – кусочно-непрерывная периодическая функция периода .

Можно попытаться провести т.н. гармонический анализ , т.е. представить эту функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник того же периода

,

Таким образом, можно прийти к тригонометрическому ряду Фурье

.

Коэффициент нулевой гармоники обычно берется с множителем .

Исторически эта задача впервые возникла при математической обработке результатов наблюдения высоты приливной волны, которая периодически повторяется с течением времени. Гармонический анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные предсказания ее величины, что было весьма важно для мореплавателей.

Предположим, что ряд

сходится на отрезке и допускает почленное интегрирование, в результате которого получится следующее:

Так как из условий ортогональности

при , то получается

Отсюда

.

Интересно отметить, что свободный член тригонометрического ряда Фурье

представляет собой среднее значение периодической функции .

Если умножить левую и правую части ряда

на и почленно проинтегрировать, то получится:

.

Предварительно, следует отметить, что

,

т.е.

Отсюда, в силу условий ортогональности, а также с учетом нормировки, получается

,

следовательно

,

а значит, заменяя на (что по смыслу формул допустимо), можно получить

Аналогично, умножая обе части ряда на и почленно интегрируя, получим

.

В данном случае условие нормировки

,

т.е.

В силу условий ортогональности

следовательно

,

а значит

.

Числа и называются коэффициентами Фурье функции .

Тригонометрический ряд

,

коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье данной периодической функции называется ее тригонометрическим рядом Фурье, независимо от того, будет ли сумма этого ряда равна функции или нет. В последнем случае говорят, что функция порождает ряд Фурье

,

где знак ~ означает «соответствует».

Теорема сходимости. Пусть периодическая функция , определенная на , кроме, может быть, точек ее разрывов, и имеющая период , является кусочно–дифференцируемой (или кусочно–гладкой) на любом промежутке, длина которого равна периоду этой функции.

Тогда

1. ее тригонометрический ряд Фурье сходится для любого значения , т.е. существует сумма ряда Фурье

1. Сумма ряда Фурье равна функции в точках ее непрерывности =и равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа в точках разрыва функции, т.е.

Поскольку для точек непрерывности функции можно записать

,

то в общем случае

Таким образом, для тригонометрического ряда Фурье функции имеем

,

где коэффициенты и определяются по формулам

.

Если принять, что период функции равен , т.е. , то расчетные формулы значительно упрощаются:

где .

Дата добавления: 2014-01-13