Додатні раціональні числа

Неважко показати, що відношення рівності дробів, яке вводено в попередньому пункті, є рефлексивним, симетричним і транзитивним, тобто воно є відношенням екві­валентності. Тому дане відношення розбиває множину дробів на класи еквівалентності: дроби, що належать до одного класу, дорівнюють один одному; дроби, що належать до різних класів, не дорівнюють один одному.

Означення 12. Кожен з класів еквівалентності, на які відношення рівності дробів розбиває множину дробів, називають додатним ра­ціональним числом. Множину додатних раціональних чисел позна­чають Q+.

Нехай а € Q₊, тобто а — деякий клас рівних дробів. Кожний з цих дробів називають представником чи записом цього класу, або дробом, що зображує додатне раціональне число а чи є його зображенням.

Теорема 14. Для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що зображує це число.

Нехай a Є Q₊ i – деякий представник класу а. Покладемо d = Д(p, n), тоді p = p₁d, n = n₁d, а тому , причому дріб – нескоротний. Отже, нескоротний дріб, що зображує число а, існує.

Дата добавления: 2014-01-13