Кольцо многочленов

Рассмотрим множество многочленов (полиномов) от переменной х над числовым полем Р, т. е. выражения вида , где п - целое неотрицательное число, а коэффициенты многочлена а ₀, а ₁,…, а_п - числа из поля Р (действительные или комплексные). Наибольшее число п, при котором а_п ¹ 0, называется степенью многочлена и обозначается deg f(x). Два многочлена и тождественно равны, если п = т и . Определим на множестве многочленов два внутренних закона - аддитивный и мультипликативный.

Сумма двух многочленов f (x) + g (x) - это многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного х равен сумме коэффициентов многочленов f (x) и g (x) при той же степени х. Если степени складываемых многочленов не равны, то многочлен меньшей степени дополняется до старшей степени членами с нуле­выми коэффициентами. При этом

deg [ f (x) + g (x)] £ max [deg f (x), deg g (x)].

Поскольку операция сложения многочле­нов определяется через сложение его коэффициентов, а сложение чисел ассоциативно и коммутативно, то операция сложения многочле­нов также ассоциативна и коммутативна. Нейтральным элементом отно­сительно сложения является многочлен, все коэффициенты кото­рого нули. Всякий многочлен f (x) обладает симметричным ему, все коэффициенты которого противоположны коэффициентам f (x), т. е. . Следовательно, множество многочленов является абелевой группой относительно сложения.

Произведение двух многочленов определяется как многочлен f (x) g (x), получающийся умножением каждого члена многочлена f (x) на каждый член многочлена g (x), суммированием полученных произведений и приведением подобных членов. Очевидно,

deg [ f (x) g (x)] = deg f (x) + deg g (x).

Операция умноже­ния многочленов ассоциативна, коммутативна и дистрибутивна относительно сложения. Нейтральным элементом относительно умножения служит многочлен, у которого а ₀ = 1, а все осталь­ные коэффициенты равны нулю. Коммутативность и ассоциативность умножения доказывается аналогично сложению.

Таким образом, множество многочленов есть коммутативное кольцо. Это кольцо также унитарно (кольцо с единицей). Можно показать, что множество многочленов не имеет делителей нуля, следовательно, оно есть кольцо целостности.

Любой многочлен можно единственным образом представить в виде ,

где - частное от деления f (x) на g (x), а - остаток. При этом deg r (x) < deg g (x), а также, если deg f (x) ³ deg g (x), то

deg q (x) = deg f (x) - deg g (x).

Число λ называют нулем многочлена f (x),если f (l) =0. Говорят также, что l есть корень уравнения f (х) = 0. Для того чтобы l был нулем многочленf f (x), необходимо и до­статочно, чтобы этот многочлен делился без остатка на х- l. Если многочлен f (x) делится без остатка на (х- l) ^s, где s - наибольшее натуральное число, для которого такое деление возможно, то l на­зывается нулем кратности s. Нуль кратности единица называется простым.

Основная теорема алгебры утверждает, что многочлен п -й степени с действительными коэффициентами имеет не более п различных действительных нулей. Если многочлен рассматривается над полем комплексных чисел, то с учетом кратности корней их общее число всегда равно п.

Дата добавления: 2014-01-13