Частица в одномерной яме с абсолютно непроницаемыми стенками

Рассмотрим частицу в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими непроницаемыми стенками. Потенциальная энергия в этом случае удовлетворяет условиям

Поскольку частица может двигаться только вдоль оси х уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

За пределами ямы вероятность обнаружить частицу равна нулю. Следовательно, и . Из условий непрерывности на границах ямы

Для частицы в яме уравнение Шредингера имеет вид

.

Обозначим . Для уравнения общим решением является . Так как , то B = 0 и

Условие выполняется только при , где (при получается, что частица отсутствует).

Тогда . Выразив из энергию, получим:

(7.9)

Спектр энергии оказался дискретным. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, главным квантовым числом. Квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица в потенциальной яме не может иметь энергию меньшую чем при n = 1. Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей.

Если рассчитать расстояние между соседними уровнями энергии, в качестве частицы взяв электрон г, то для ямы шириной ~ 10 см (свободные электроны в металле) получим эВ. То есть, чем больше m и l, тем гуще располагаются уровни энергии, так что спектр практически можно считать непрерывным и квантование энергии на характере движения частиц сказываться не будет. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными l ~ 10^-10 м, то для электрона эВ и получаются явно дискретные значения энергии. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел должны переходить в законы классической физики.

Найдем собственные функции

Для нахождения А воспользуемся условием нормировки

В результате интегрирования получим

Откуда () (7.10)

Графики собственных функций даны на рис.

Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии n = 2 частица не может находиться в середине ямы, в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траектории.

Дата добавления: 2014-01-13