Определение оптимального распределения ресурса для центра

В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума.

Леонард Эйлер

В качестве целевой функции центра примем максимизацию прибыли фирмы:

. (2.1)

На распределение ресурса центром наложены следующие ограничения:

(2.2)

Оптимизационная задача (2.1)-(2.2) относится к задачам на условный экстремум. Перепишем ограничение (2.2) так, чтобы в правой части был 0:

. (2.3)

Используем для решения данной задачи метод множителей Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции (2.1) и ограничения (2.3), умноженного на множитель Лагранжа:

.

Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным переменным и приравняем к 0:

(2.4)

Из первого уравнения системы (2.4) следует:

. (2.5)

Подставляя (2.5) во второе уравнение системы (2.4), получаем

Откуда найдём множитель Лагранжа:

. (2.6)

Подставляя множитель Лагранжа (2.6) в (2.5), получаем оптимальный закон планирования для центра:

. (2.7)

Оптимальный план распределения заказа с точки зрения центра для i -го агента прямо пропорционален имеющемуся ресурсу R и отношению эффективности i -го агента к сумме эффективностей всех агентов.

Для нахождения максимального значения целевой функции подставим оптимальный план (2.7) в выражение для целевой функции (2.1):

.

Полученное выражение определяет максимально возможную прибыль для центра.

Дата добавления: 2014-01-13