КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. называется знакочередующимся
Определение. Ряд вида где (3) называется знакочередующимся. Сходимость – расходимость знакочередующихся рядов устанавливается по признаку Лейбница. Он формулируется следующим образом. Если члены знакочередующегося ряда (3) монотонно убывают по абсолютной величине, стремясь при этом к нулю, то есть если a1 > a2 > a3 > …, и , (4) то знакочередующийся ряд (3) сходится, причем его сумма S заключена в интервале 0 < S < a1, то есть не превосходит первого члена ряда. Доказательство. 1. Сначала рассмотрим произвольную частичную сумму S2m с четным числом слагаемых ряда (3). Учитывая монотонное убывание (4) членов ряда, приходим к выводу, что S2m = (a1 – a2) + (a3 – a4) + … + (a2m-1 – a2m) > 0, (5) причем с ростом m сумма S2m возрастает. С другой стороны, для любого m имеем: S2m = a1 – (a2 – a3) – (a4 – a5) – … – (a2m-2 – a2m-1) – a2m < a1 (6) В силу условия (4) каждая скобка положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из а1 мы получим число меньшее чем а1. Таким образом, с увеличением m частичная сумма S2m монотонно растет, но всегда меньше a1. Отсюда по теореме Вейерштрасса следует, что существует , причем S < a1 (7) Напомним формулировку теоремы Вейерштрасса.
Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 369; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |