Влияние контроля с восстановлением на показатели

надёжности системы [9]

Решение проблемы обеспечения надежного функционирования современных ОСС немыслимо без широко разветвленной системы контроля, на создание и эксплуатацию которой затрачивается большое количество оборудования, времени и людских ресурсов.

Применение контроля позволяет улучшить показатели качества функционирования систем, повысить достоверность решения задач, надежность, готовность к работе и безотказность функционирования; уменьшить частоту ошибок из-за сбоев, сократить время восстановления ОСС при возникновении сбоев и неисправностей. Рассмотрим, каким образом контроль влияет на основные характеристики надёжности.

Пусть система состоит из n подсистем, соединенных последовательно по надежности, k подсистем охвачены контролем, остальные подсистемы не контролируются; суммарная интенсивность отказов контролируемых подсистем равна l_k, неконтролируемых подсистем l_н. Контролируемые подсистемы восстанавливаются сразу же после отказа с интенсивностью восстановления, равной m_k. Если отказ произошел в одной из неконтролируемых подсистем, то они не восстанавливаются до возникновения отказов в контролируемой части.

Обозначим возможные состояния системы:

1 - все подсистемы исправны;

2 - возник отказ в неконтролируемой части;

3 - возник отказ в контролируемой части;

4 - возник отказ в неконтролируемой и в контролируемой частях системы.

Определим теперь вероятности перехода из одного состояния в другое в интервале (t, t + Dt). Для этого составим вначале граф переходов и "нагрузим" переходы соответствующими интенсивностями (рис. 6.31).

λ_k

λ_k

λ_k

μ_k

μ_k

Рис. 6.31

Вероятность переходов сведем в матрицу с учетом следующих допущений. Поскольку Dt мало, то e^-λΔt ≈ 1 - λΔt и e^-μΔt ≈ 1 - μΔt. Тогда получим

1 – (λ_k + λ_н)Δt

λ_нΔt

λ_kΔt

1 – λ_k Δt

μ_kΔt

μ_kΔt

1 – μ_k Δt

1 – μ_k Δt

λ_kΔt

P =

Исходя из матрицы переходов Р, можно составить систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений.

Первое уравнение получается из следующих рассуждений. Вероятность пребывания системы в состоянии 1 в момент времени t + Dt равна вероятности P₁(t) того, что в момент времени t система находилась в состоянии 1, умноженной на вероятность [1 – (l_н + l_k) Dt] того, что за время Dt система останется в состоянии 1, плюс вероятность Р₃(t) пребывания системы в момент t в состоянии 3, умноженной на вероятность P₃(t) перехода системы за время Dt из состояния 3 в состояние 1, плюс вероятность Р₄(t) пребывания системы в момент времени t в состоянии 4, умноженной на вероятность m_kDt перехода системы за время Dt из состояния 4 в состояние 1, т.е.

P₁ (t + Dt) = P₁(t) [1 – (l_k + l_н) Dt] + P₃(t) m_kDt + P₄(t) m_kDt

или

Устремив Dt ® 0, получим

Аналогично получим уравнения для второго, третьего и четвертого состояний:

Так как нас интересует коэффициент готовности для установившегося режима, то систему дифференциальных уравнений решать не нужно. В этом случае вероятности P_i(t) не зависят от времени и. Используя эти упрощения, получим систему алгебраических уравнений

- (λ_k + λ_н)P₁

+ μ_kP₃

+ μ_kP₄

λ_нP₁

- λ_kP₂

λ_kP₁

- μ_kP₃

λ_kP₂

- μ_kP₄

= 0,

= 0,

= 0,

= 0.

Первое уравнение является линейной комбинацией остальных уравнений, поэтому данная система имеет бесчисленное множество решений. Добавим ещё уравнение P₁ + P₂ + P₃ + P₄ = 1. Тогда можно образовать такую систему:

P₁

+ P₃

+ P₄

λ_нP₁

- λ_kP₂

λ_kP₁

- μ_kP₃

λ_kP₂

- μ_kP₄

= 1,

= 0,

= 0,

= 0.

+ P₂

Решая эту систему, получим

Поскольку К_г = Р₁, то где λ = λ_н + λ_k.

Отношение λ_k/ λ характеризует степень охвата контролем. Чем оно больше, тем выше показатель готовности.

Еще более эффективным оказывается применение контроля для резервированных систем, причем максимальный эффект достигается в том случае, когда контролируются как основные, так и резервные системы.

Рассмотрим случай постоянного дублирования. Пусть имеются две аналогичные по характеристикам безотказности и восстанавливаемости системы и пусть каждая из них постоянно контролируется, причем сразу же после отказа начинается восстановление.

Обозначим:

1 – состояние системы, когда обе системы исправны;

2 – состояние, когда один образец исправен, а второй ремонтируется;

3 – состояние ремонта обоих образцов.

Очевидно, что для рассматриваемой системы отказ определяется попаданием в состояние 3. На рис. 6.32 изображен график переходов. Как указано выше для определения коэффициента готовности надо составить лишь алгебраические уравнения.

2λ

λ

μ

2μ

Рис. 6.32

Существует следующее мнемоническое правило. Если состояния заданы графом, то для каждого состояния можно составить уравнение: в правой части написать нуль, в левой части – сумма всех входящих потоков (произведение интенсивности перехода на вероятность того состояния, откуда происходит переход), взятых со знаком плюс, минус сумма всех входящих потоков.

На основании этого правила составим следующую систему:

-2λP₁

+μP₂

= 0,

2λP₁

-(λ + μ)P₂

+2μP₃

= 0,

λP₂

-2μP₃

= 0.

Второе уравнение является линейной комбинацией первого и третьего. Чтобы система была разрешима, вместо второго уравнения добавим уравнение Р₁ + Р₂ + Р₃ = 1. Тогда можно образовать такую систему:

-2λP₁

+μP₂

= 0,

P₁

+ P₂

+ P₃

= 1,

λP₂

-2μP₃

= 0.

Решая эту систему, получим

Отсюда

Если контроль отсутствует, то восстановление начинается после отказа двух систем. В этом случае можно ввести четыре состояния:

1 – обе системы исправны;

2 – одна система работает, вторая отказала, но не ремонтируется;

3 – обе системы отказали и ремонтируются;

4 – одна система работает, другая отказала и ремонтируется.

Подобная постановка задачи приводит к следующему графу переходов (рис. 6.33).

2λ

λ

λ

2μ

μ

Рис. 6.33

На основании этого графа и вышеприведенного правила составляем следующие уравнения:

- 2λР₁

+

μР₄

= 0,

2λР₄

- λР₂

λР₂

- 2μР₃

+λР₄

2μР₃

- (λ + μ)Р₄

= 0.

= 0,

= 0,

Исключая четвертое уравнение и добавляя уравнение Р₁ + Р₂ + Р₃ + + Р₄ = 1, получаем следующее решение:

Для сравнения этих двух способов допустим, что μ = 1,0 1/ч и λ = 0,01 1/ч.

Вычислим ожидаемый простой Т_п за 10 000 часов эксплуатации. Так как а Т_р = 10 000 - Т_п, то и Т_п = 10 000 (1 – К_г).

Для первого случая Т_п1 = 1 час.

Для второго случая Т_п2 = 33 часа, т.е. если контроля нет, то ожидаемый простой за 10 000 часов эксплуатации составит 33 часа по сравнению с 1 часом, если имеется контроль.

Дата добавления: 2014-01-13