Сложение вероятностей

План

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ № 2

1. Сложение вероятностей

2. Умножение вероятностей

3. Вероятность появления хотя бы одного события

4. Формула полной вероятности

Определение 2.1. Суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Пример 2.1. Пусть проводится испытание, заключающееся в том, что стрелок стреляет по мишени два раза. Пусть событие – попадание в цель при первом выстреле; – попадание в цель при втором выстреле. Тогда сумма двух совместных событий С=А+В – попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

Определение 2.2. Суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении только одного из них.

Пример 2.2. Пусть проводится испытание, заключающееся в извлечении карты из колоды в 36 карт. Обозначим – вынули пиковую карту, – вынули бубновую карту. Данные события при таком испытании являются несовместными. Под суммой двух событий будет пониматься событие, заключающееся в появлении либо пиковой, либо бубновой карты.

Теорема 2.1. Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий:

(2.1)

Эта теорема распространяется и на конечное количество событий и на бесконечное:

(2.2)

Пример 2.3. Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет либо число «1», либо «6».

Решение:

Пусть событие состоит в том, что выпадет число «1», событие – в том, что выпадет число «6». Используя, классическое определение вероятности, найдем вероятности наступления события и .

; . Из определения суммы двух несовместных событий:

.

Рис. 2.1. а) несовместные события; b) совместные события.

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(2.5)

Рисунок 2.1 поясняет на основании теоретико-множественных представлений теоремы 2.1 и 3.2. Рассмотрим сначала случай несовместных событий (рис. 2.1. а). Пусть появлению события благоприятствует элементарных исходов, а событию – . Всего в пространстве событий элементарных исходов. Найдем вероятность суммы двух событий и , использую формулу классической вероятности:

. Рассмотрим теперь случай совместных событий (рис. 2.1.б). Из рисунка видно, что множества и пересекаются. Общая область соответствует элементарным исходам, при которых появляются оба события и . Пусть данная область содержит элементарных события. Тогда вероятность двух совместных событий будет равна:

Определение 2.4. Несколько событий образуют полную группу, если их сумма представляет все пространство элементарных событий, а сами события несовместные, т.е. , , .

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

(2.3)

Данное свойство достаточно очевидно. Поскольку события образуют полную группу, то, согласно определению, они являются единственно возможными и несовместными. Предположим, что событию соответствует элементарных исходов, событию – элементарных исходов, …, событию – элементарных исходов. Всего исходов . Тогда справедливо равенство . Разделив левую и правую части данного равенства на , получим: . Отсюда следует .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(2.4)

Дата добавления: 2014-01-13