Умножение вероятностей

Определение 2.3. Произведением двух событий и называется событие, состоящее в одновременном появлении и события и события . Произведение двух событий и , согласно теоретико-множественным представлениям называется пересечение этих событий .

Определение 2.5. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 2.6. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любые из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события называются зависимыми.

Определение 2.7. Вероятность наступления события , вычисленная при условии наступления другого события , называется условной вероятностью события по отношению к событию . Записывается это либо , либо .

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, найденную из предположения о том, что первое событие уже произошло:

(2.6)

Данная теорема распространяется и на большее число событий:

(2.7)

Докажем теорему 2.3. Пусть даны два события и такие, что и . Из всех всевозможных исходов событию благоприятствуют исходов, событию – исхода, а событию – (рис. 2.2). Вероятности событий , и соответственно равны , , . Найдем условную вероятность события . Событию соответствуют благоприятных исходов из всевозможных исходов. Тогда . Разделим числитель и знаменатель на : . Отсюда следует .

Рис. 2.2.

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что мы подбросили игральный кубик. Событие – выпало число «4». Вероятность такого события равна . Предположим, что мы не знаем, какое именно число выпало при подбрасывании, но знаем, что оно четное (событие ). Информация о событии уменьшает наше пространство событий, и поэтому меняет вероятность появления события . Полная группа событий для первоначального события представляет собой набор натуральных чисел от 1 до 6 включительно. Появление информации о том, что выпавшее число – четное (событие ), уменьшило пространство событий в два раза (числа 2, 4, 6). Поэтому вероятность появления числа «4» при условии, что выпавшее число – четное, возрастает от 1/6 до 1/3.

На основании теоремы 2.3 можем записать:

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(2.8)

Данная теорема распространяется и на большее число событий:

(2.9)

Пример 2.4. Производятся два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором 0,9. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.

Решение:

Пусть событие состоит в том, что попадание произошло при первом выстреле, событие – при втором. При этом = 0,7, а = 0,9. События и являются совместными и независимыми, следовательно:

Пример 2.5. Из урны, в которой находятся 7 белых и 3 черных шара вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными. Испытания будем проводить по двум схемам: 1) шары возвращаются в корзину; 2) шары не возвращаются в корзину.

Решение:

1) События и состоят соответственно вытащить из урны черный шар в первый и во второй. При таком испытании, когда извлеченный шар обратно возвращается, данные события совместные и независимые. Тогда ; . Вероятность того, что оба шара будут черного цвета, равна: .

2) События и состоят соответственно вытащить из урны черный шар в первый и во второй. При таком испытании, когда извлеченный шар обратно не возвращается, данные события совместные и зависимые. Тогда ; . После того как из урны извлекли первый черный шар, то в ней осталось всего 9 шаров, из которых только два окрашены в черный цвет. Таким образом: .

Если события независимы в совокупности, то и противоположные к ним события также независимы в совокупности.

Если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 окрашенных шара: красный (), синий (), черный () и один во все эти три цвета (). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то = 2/4 = 1/2. Рассуждая аналогично, найдем = 1/2, = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события ? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события по-прежнему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события , вычисленная в предположении, что наступило событие , равна его безусловной вероятности. Следовательно, события и независимы. Аналогично придем к выводу, что события и , и независимы. Итак, события , и попарно независимы. Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события и произошли, приходим к выводу, что событие обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность события не равна его безусловной вероятности =1/2. Итак, попарно независимые события , и не являются независимыми в совокупности.

Дата добавления: 2014-01-13