Законы распределения случайных величин. Описание случайных величин

Описание случайных величин

Методы описания экономических показателей

Экономические показатели, как правило, являются случайными вели­чинами.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта (испытания) может принять одно и только одно возможное значе­ние, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретной называют случайную величину, принимающую отдель­ные, изолированные друг от друга возможные значения, которые можно пронумеровать. Число возможных значений дискретной случайной вели­чины может быть конечным или бесконечным.

Например, количество реализованных акций за некоторый период времени есть дискретная случайная величина. Ее возможные значения: 0,1,2,...

Непрерывной называют случайную величину, которая может при­нимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконеч­ного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Примером непрерывной случайной величина может служить при­быль фирмы за год.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами Х, У, а их возможные значения - строчными буквами х, у.

Случайная величина полностью описывается своим законом распре­деления.

Законом распределения случайной величины называется соотноше­ние, устанавливающее связь между ее возможными значениями и соответ­ствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан таблично (рядом распределения для дискретной величины), графически и аналитически (функцией распределения или функцией плотности распре­деления для непрерывной величины).

Рядом распределения дискретной случайной величины X называется таблица, где в первой строке перечислены возможные значения этой ве­личины х₁, х₂, …, х_п, а вторая строка содержит соответствующие им вероятности Р₁, P₂,...,Р_n.

При этом

Графическое изображение ряда распределения называют много­угольником (полигоном) распределения.

Случайную величину любого типа (дискретную и непрерывную) можно задать функцией распределения вероятностей.

Функцией распределения случайной величины Х называют функ­цию F(x), определяющую вероятность того, что величина Х результате опыта примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X<x).

Функцию распределения F(x) называют еще интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Свойства функции распределений:

1) 0< F(x) <1.

2) Функция F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, то есть из соотношения х₂ ≥ х₁ следует соотношение F(х₂) ≥ F(х₁).

3) Вероятность попадания случайной величины на заданный участок выражается через функцию распределения F(x) следующим образом:

Р (α<Х <β) = F(β)-F(α).

Таким образом, вероятность попадания случайной величины на за­данный участок равна приращению функции распределения на этом уча­стке.

Если величина X непрерывна, то Р(Х=α) = 0.

Тогда Р(α<Х <β)= Р(α≤Х <β) = Р(α<Х ≤β) = Р(α≤Х ≤β)= F(β) - F (α).

4) Для непрерывной случайной величины F(-∞) = 0; F(+∞)= 1.

5) Для дискретной случайной величины F(x) есть разрывная ступен­чатая функция, непрерывная слева.

Если функция распределения F(x) всюду непрерывна и имеет произ­водную, то случайная величина называется непрерывной в узком смыс­ле слова (или просто непрерывной).

Если функция F(x) нанекоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, случайная ве­личина называется смешанной.

Пример. Статистика последних 3 лет свидетельствует о том, что месячная прибыль фирмы (тыс. долл.) является случайной величиной, ко­торая описывается функцией распределения, изображенной на рисунке.

По виду графика оценить:

1) вероятность того, что прибыль произвольно взятого месяца будет заключена в пределах от 15 до 25 тыс. долл.;

2) вероятность того, что прибыль произвольно взятого месяца будет не менее 20 тыс. долл.;

3) вероятность того, что в произвольно взятом месяце будут убытки.

Дата добавления: 2014-01-13