Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность успеха в одном опыте равна р, 0< p <1, то вероятность , что в n независимых испытаниях успех наступит m раз, удовлетворяет при следующему соотношению

,

где . Причем стремление к пределу равномерно для всех m, для которых находится в каком либо конечном интервале [ a,b ].

Доказательство.

Воспользуемся формулой Стирлинга: .

Получим

,

где , , .

Найдем пределы . Для тех m, для которых , где [ a,b ] – произвольный конечный интервал, имеем

.

Для имеем:

Тогда , причем стремление к 1 равномерное по .

Причем стремление к 1 равномерное по .

Разложим логарифм в ряд Тейлора: , тогда получим

T.O.

Причем, поскольку в стремятся к нулю равномерно по , то и стремится к функции равномерно по .

Таким образом, при

, где .

На практике, при больших n нас обычно интересует не вероятность того, что успех наступит точно m раз, а вероятность того, что число успехов лежит в некоторых границах. Такую оценку нам дает

Дата добавления: 2014-01-13