Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Пусть р - вероятность успеха в одном опыте, 0< p <1, m – число успехов в n независимых испытаниях, a и b - любые фиксированные числа, a<b.

Тогда ,

причем стремление к пределу равномерное по a и b: .

Доказательство.

.

Возьмем числа , так чтобы . По локальной теореме Муавра-Лапласа для всех

, , где все равномерно стремятся к нулю при . В том числе это справедливо для всех и можно записать

, где при .

Заметим, что , поэтому - есть результат применения формулы прямоугольников к вычислению интеграла . Погрешность формулы прямоугольников есть .

Поэтому

при .

Таким образом, мы показали, что

, равномерно по всем a, b из .

Рассмотрим теперь случай, когда . Без ограничения общности можно рассмотреть случай, когда . Очевидно, что при увеличении b₀ обе величины

и стремятся к нулю и, следовательно, их можно сделать сколь угодно малыми. Поэтому имеет место равномерное стремление к пределу для всех a<b.

Следствие. (Закон больших чисел в форме Бернулли)

Для любого

, или, что тоже, .

Доказательство.

Поскольку , то

при , поскольку .

Пример 2:

Производится n независимых испытаний (n считаем большим числом), р - вероятность успеха в одном опыте, 0< p <1.

1. Чему равна вероятность того, что частота успеха отклонится от p не более чем на a?

,

где .

2. Какое наименьшее число испытаний n надо произвести, чтобы с вероятностью не меньшей b, частота отклонялась от вероятности р не больше чем на a?

Для определения n имеем уравнение:

.

3. При заданной вероятности b и числе испытаний n найти a.

Для определения a имеем уравнение:

.

Дата добавления: 2014-01-13