Интервальное оценивание параметров моделей. Проверка статистических гипотез

Интервальное оценивание – способ получения оценки для неизвестного значения скалярного параметра с помощью интервала его допустимых значений и определения вероятности того, что в этом интервале находится истинное значение параметра. На практике для получения интервальной оценки параметра q обычно заранее выбирается число p, такое, что 0 < p < 1, и находятся два других числа, зависящих от результатов наблюдений q₁(q^*) и q₂(q^*), таких, что вероятность нахождения q в интервале (q ₁, q ₂) равна p: P [q₁(q^*) ≤ q ≤ q₂(q^*)] = p. В этом случае интервал (q ₁, q ₂) называется 100· p -процентным доверительным интервалом.

Вероятность того, что доверительный интервал содержит истинное значение параметра q, равная p, называется коэффициентом доверия; величины q₁(q^*) и q₂(q^*) называются соответственно нижней и верхней доверительными границами для параметра q. Интервальное оценивание применяется как альтернатива точечному оцениванию параметра ошибки, т.е. доверительный интервал для q соответствует ошибке параметра q. Ширина интервала (разность между двумя границами) является мерой точности оценки.

Существует большой набор процедур доверительного оценивания, которыми можно заменить традиционные критерии проверки гипотез, используемых в классических ситуациях: доверительный интервал для математического ожидания, дисперсии, вероятности, коэффициента множественной корреляции (детерминации) при оценке силы связи между переменными и т.д.

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают H ₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу H ₁. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза.

Различают простые и сложные гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z = z (x ₁, x ₂, …, x_n). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S ₀ и S ₁. Если значение критерия z попадает в область S ₀, то гипотеза принимается, а если в область S ₁, то гипотеза отклоняется. Множество S ₀ называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S ₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

Принятие или отклонение гипотезы H ₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается верная гипотеза H ₀ и принимается конкурирующая гипотеза H ₁. Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза H ₀, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза H ₁. Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу H ₀. Вероятность отвергнуть ложную гипотезу H ₀ называется мощностью критерия. Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Варианты исходов при проверке гипотез

Гипотеза H 0	Решение	Вероятность	Примечание
Верна	Принимается	1 – a	Доверительная вероятность
Отвергается	a	Вероятность ошибки первого рода
Неверна	Принимается	b	Вероятность ошибки второго рода
Отвергается	1 – b	Мощность критерия

Дата добавления: 2014-01-13