Математические методы принятия решений

Основные приемы при планировании измерительного эксперимента; анализ подобранной модели. Критерии адекватности модели объекту предметной области

Планирование эксперимента (англ. experimental design techniques) – комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов. Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

Принципы, положенные в основу теории планирования эксперимента, направлены на повышение эффективности экспериментирования, т.е. стремление к минимизации общего числа опытов; одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам; использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованное решение после каждой серии экспериментов.

Для проведения эксперимента любого типа необходимо: разработать гипотезу, подлежащую проверке; создать программы экспериментальных работ; определить способы и приемы вмешательства в объект исследования; обеспечить условия для осуществления процедуры экспериментальных работ; определить способы и приемы вмешательства в объект исследования; обеспечить условия для осуществления процедуры экспериментальных работ; разработать пути и приемы фиксирования хода и результатов эксперимента (приборы, установки, модели и т.п.); обеспечить эксперимент необходимым обслуживающим персоналом.

Первоначальный анализ данных начинается с попытки описания свойств изучаемой характеристики в наиболее компактном и информативном виде. Это основа для дальнейшего аналитического исследования. Для его проведения исходные данные представляют в виде дискретного или интервального вариационного ряда (статистического ряда распределения) – упорядоченной последовательности измеренных значений x ₁ < x ₂ < … < x_n и частот их встречаемости m_i. В случае большого количества различных значений, или когда измеряемая характеристика принимает непрерывный ряд значений, строят интервальный ряд распределения.

Методами описательной статистики принято называть методы описания выборок с помощью различных показателей и графиков:

1. Показатели положения описывают положение данных на числовой оси. Примеры таких показателей – минимальный и максимальный элементы выборки (первый и последний член вариационного ряда), верхний и нижний квартили (они ограничивают зону, в которую попадают 50% центральных элементов выборки). Наконец, сведения о середине совокупности могут дать выборочное среднее значение, выборочная медиана и другие аналогичные характеристики.

2. Показатели разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра. К ним в первую очередь относятся: дисперсия выборки, стандартное отклонение, размах выборки (разность между максимальным и минимальным элементами), межквартильный размах (разность между верхней и нижней квартилью), коэффициент эксцесса и т.п. По сути дела, эти показатели говорят, насколько основная масса данных группируется около центра.

3. Показатели асимметрии. Третья группа показателей отвечает на вопрос о симметрии распределения данных около своего центра. К ней можно отнести: коэффициент асимметрии, положение выборочной медианы относительно выборочного среднего и относительно выборочных квартилей, гистограмму и т.д.

4. Показатели, описывающие закон распределения. Наконец, четвертая группа показателей описательной статистики дает представление собственно о законе распределения данных. Сюда относятся графики гистограммы и эмпирической функции распределения, таблицы частот.

При обработке результатов прямых измерений используется следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения записывается в таблицу.

2. Вычисляется среднее значение из n измерений:

.

3. Находится погрешность отдельного измерения:

4. Вычисляются квадраты погрешностей отдельных измерений: (Δ x ₁)², (Δ x ₂)²,..., (Δ x_n)².

5. Определяется среднеквадратичная ошибка среднего арифметического:

6. Задается значение надежности (обычно берут P = 0.95).

7. Определяется коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

8. Находится доверительный интервал (погрешность измерения):

9. Если величина погрешности результата измерения Δ x оказывается сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала берется:

.

10. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбрасывают. Окончательный результат записывается в виде:

.

11. Оценивается относительная погрешность результата измерений:

.

При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.

2. Оцените точность результата косвенных измерений по формулам, где производные вычислите при средних значениях величин (систематическая ошибка):

или

где – частные производные функции одной или нескольких непосредственно измеряемых величин N = ƒ(x, y, z,...) по аргументу x, y, z,..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные; δ x, δ y, δ z – систематические ошибки аргументов.

Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ (или δ).

Первой формулой удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Вторую формулу применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

или

,

где Δ x, Δ y, Δ z,... – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z,.... Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δ x, Δ y, Δ z,... должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P ₁ = P ₂ =... = P_n = P. В этом случае надежность для доверительного интервала Δ _N будет тоже P.

Первой формулой удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z,...) имеет вид суммы или разности аргументов. Вторую формулу применять целесообразно, если функция N = ƒ(x, y, z,...) имеет вид произведения или частного аргументов.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка S находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки:

.

3. Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то они складываются по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбрасывают. Окончательный результат записывается в виде:

N = ƒ(x, y, z,...) ± Δ f.

4. Оценивается относительная погрешность результата серии косвенных измерений: e = (Δƒ/ f)×100%.

Контрольные вопросы

1. Случайная величина. Законы распределения. Функция распределения и ее свойства.

2. Интервальное оценивание параметров моделей. Проверка статистических гипотез.

3. Перечислите основные приемы при планировании измерительного эксперимента.

4. Сформулируйте основные методы описательной статистики.

5. Сформулируйте критерии адекватности модели объекту предметной области.

В данном разделе рассмотрены основные требования к пользовательскому интерфейсу информационной системы и вопросы интеллектуализации процесса анализа выборочных данных.

Дата добавления: 2014-01-13