Оценка остаточного члена интерполяционного множителя Лагранжа

В предположении непрерывности оценим разность между и построенным интерполяционным многочленом . Положим

,

где , а выберем из условия , где точка, в которой оценивается погрешность. Из уравнения получаем

.

При таком выборе функция обращается в нуль в -й точке . На основании теоремы Роля ее производная обращается в нуль по крайней мере в точках. Применяя теорему Роля к , получаем, что ее производная обращается в нуль по крайней мере в -й точке. Продолжая эти рассуждения дальше, получаем, что обращается в нуль по крайней мере в одной точке , принадлежащей отрезку , где

, .

Поскольку , из условия будем иметь

.

Следовательно, соотношение можно переписать в виде

, , (2.5)

который и дает представление остаточного члена.

Дата добавления: 2014-01-13