Лемма. Справедливо равенство

Разделенные разности и их свойства

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции в точках .;разности первого порядка определяются равенством

, (2.6)

разности второго порядка – равенством

и вообще, разности -го порядка определяются через разности -го порядка по формуле

. (2.7)

. (2.8)

Доказательство будем проводить по индукции. При это равенство превращается в тождество , при совпадает с (2.6). Пусть (2.8) доказано при . Тогда, согласно (2.7) и (2.8) имеем

Если , , то коэффициент при в правой части есть

,

т.е. имеет требуемый вид; для или значение входит только в одно слагаемое в правой части, и коэффициент при нем также имеет требуемый вид. Доказательство закончено.

Непосредственно из (2.8) вытекает ряд следствий.

1. при фиксированных разделенная разность является линейным функционалом от функции :

.

2. Разделенная разность есть симметричная функция своих аргументов , (т.е. не меняется при любой их перестановке).

Если функция задана в точках , то таблицу

(2.9)

называют таблицей разделенных разностей.

Дата добавления: 2014-01-13