Интерполяционная формула Ньютона

Эта формула позволяет выразить интерполяционный многочлен через значение функции в одном из узлов и разделенные разности функции , построенные по узлам . Она является разностным аналогом формулы Тейлора

Мы получили формулу (2.8) для разделенной разности -го порядка

. (2.10)

В общем случае

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

(2.11)

Можно показать, что многочлен Ньютона , определяемый по формуле (2.11), совпадает с многочленом Лагранжа , определяемым по формуле (2.4).

Подчеркнем, что формулы (2.4) и (2.11) представляют собой различную запись одного и того же многочлена

,

удовлетворяющего условиям интерполирования

.

Интерполяционную формулу Ньютона удобно применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция , но число узлов интерполяции постепенно увеличивается. Если число узлов интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.

Замечание. При выводе формулы (2.11) не предполагается, что узлы расположены в каком-то определенном порядке. Поэтому роль точки в формуле (2.11) может играть любая из точек . Соответствующее множество интерполяционных формул можно получить из (2.11) перенумерацией узлов. Например, тот же самый многочлен можно представить в виде

(2.12)

Формула (2.11) называется формулой интерполирования вперед, а формула (2.12) называется формулой интерполирования назад.

Поскольку многочлены Лагранжа и Ньютона отличаются только формой записи, представление погрешности в виде (2.5):

,

справедливо как для формулы Лагранжа, так и для формулы Ньютона. Можно доказать, что погрешность интерполирования можно представить через разделенную разность:

. (2.13)

Сопоставляя (2.5) и (2.13), видим, что существует точка , для которой

=. (2.14)

Формула (2.14) устанавливает связь между разделенной разностью порядка и -й производной функции .

Дата добавления: 2014-01-13