Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве

Выше в пункте 2.11 рассматривалась задача о приближении функции, заданной таблично. Однако задачу о приближении функции можно сформулировать и в более общем виде, а именно в терминах теории приближений в линейных нормированных пространствах.

Пусть дано линейное нормированное пространство , может быть бесконечномерное, и в нем задана конечная система линейно независимых элементов

, . (2.41)

Требуется приближенно заменить заданный элемент линейной комбинацией

(2.42)

Элемент , определенный согласно (2.42), называется обобщенным многочленом, построенным по системе элементов (2.41).

Будем рассматривать задачу о наилучшем приближении, состоящую в том, чтобы для заданного среди всех линейных комбинаций вида (2.42) найти такой обобщенный многочлен , для которого отклонение

(2.43)

было бы минимальным. Элемент , дающий решение этой задачи, называется элементом наилучшего приближения.

Известно, что при весьма общих предположениях элемент наилучшего приближения существует и единствен.

Рассмотрим задачу о наилучшем приближении в том случае, когда вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой . Типичным примером гильбертова пространства является пространство вещественных функций , интегрируемых с квадратом на , причем

, (2.44)

Пусть задана конечная система линейно независимых элементов , . В данном случае задача о наилучшем приближении состоит в том, чтобы для заданного элемента найти обобщенный многочлен

, (2.45)

для которого отклонение

(2.46)

является минимальным среди всех обобщенных многочленов вида

.

Можно доказать, что сформулированная задача имеет единственное решение, которое находится из системы уравнений:

, . (2.47)

Таким образом, элемент наилучшего приближения в пространстве имеет вид (2.45), где коэффициенты , отыскиваются из системы (2.47).

Алгоритм построения элемента наилучшего приближения в гильбертовом пространстве состоит в следующем:

1) вычисление элементов , матрицы ;

2) вычисление правых частей , :

3) решение системы (2.47);

4) вычисление суммы .

Как правило, каждый из этих этапов алгоритма осуществляется приближенно, с помощью численных методов. Например, в случае пространства необходимо уметь вычислять интегралы

,

что можно сделать, вообще говоря, лишь приближенно.

Оценим теперь отклонение , которое получается в результате использования наилучшего приближения в гильбертовом пространстве.

Можно показать, что если элемент наилучшего приближения в , то

, (2.48)

т.е. погрешность ортогональна элементу наилучшего приближения.

Тогда, если элемент наилучшего приближения в , то

. (2.49)

Доказательство следует из тождества

и равенства (2.48).

Наиболее часто среднеквадратичные приближения используются в том случае, когда система ортонормированна, т.е.

Тогда система (2.47) решается в явном виде:

, , (2.50)

а погрешность приближения определяется формулой

. (2.51)

Числа , определенные согласно (2.50), называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированной системе , а обобщенный многочлен

называется многочленом Фурье.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Сглаживание сеточных функций | Примеры формул численного интегрирования
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 2418; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.