Чисто неявные разностные методы

В настоящее время при интегрировании жестких систем уравнений широко используется метод Гира, в основу которого положены чисто неявные многошаговые разностные методы высокого порядка точности.

Разностный метод

(8.83)

называется чисто неявным. Он является частным случаем метода (8.64), когда

, .

Для отыскания получаем из (8.83) нелинейное уравнение

, (8.84)

которое можно решить тем или иным итерационным методом.

Условие -го порядка аппроксимации (см. п.8.3) в случае метода (8.83) принимает вид

, , , . (8.85)

Отсюда видно, что наивысший достижимый порядок аппроксимации чисто неявного -шагового метода равен . Метод Гира использует чисто неявные схемы наивысшего порядка аппроксимации. Система уравнений (8.85) для определения коэффициентов метода наивысшего порядка имеет вид

,

, (8.86)

...

.

Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель отличен от нуля.

При метод (8.84), (8.86) совпадает с неявным методом Эйлера. При и получаем методы (доказать)

, (8.87)

, (8.88)

имеющие, соответственно, второй и третий порядок точности. При из (8.84), (8.86) получим схему

. (8.89)

Для практических расчетов используются аналогичные методы вплоть до десятого порядка точности.

Найдем область устойчивости метода второго порядка (8.87) (самостоятельно).

Дата добавления: 2014-01-13