Свойства конечных разностей

1. Конечная разность любого порядка от суммы двух функций равна сумме конечных разностей этих двух функций. Т.е. если , то

2. Конечная разность любого порядка от произведения функции на число равна произведению этого числа на конечную разность функции, т.е. .

3. Конечная разность первого порядка от полинома степени n есть полином степени n- 1. Действительно, — полином степени п-1. Воспользовавшись свойствами 1., 2., получаем наше утверждение.

4. Для конечной разности порядка k имеет место представление:

(3.1)

Докажем это представление методом математической индукции. Для k =1 утверждение выполнено, т.к. . Пусть оно выполнено для конечных разностей порядка

k -1.Тогда =Воспользуемся соотношением Тогда

Отсюда получается (3.1).

Замечание. Пусть E — оператор сдвига на один индекс вперед, т.е. Ey_i=y_i+1. Тогда можно записать

5. Имеет место представление:

(3.2)

При k =0 утверждение очевидно. Пусть оно имеет место при всех j= 1,2,..., k -1. Тогда

Можно условно записать .

6. Связь конечных разностей с разностными отношениями.

Из определения разностных отношений имеем

.Аналогично получаем

(3.3)

Отсюда и из соотношения (2.8) получим

(3.4)

Дата добавления: 2014-01-14