Векторы

Лекция №4

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ АЛГОРИТМОВ ТРЕХМЕРНОЙ ГРАФИКИ. ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. ДЕТЕРМИНАНТЫ. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПОЛИГОНОВ НА ТРЕУГОЛЬНИКИ. НАПРАВЛЕНИЕ ОБХОДА.

Донецк, 2002

Содержание

1.Векторы. 2.Скалярное произведение. 3.Детерминанты. 4.Векторное произведение. 5.Декомпозиция полигонов на треугольники.

Вектор — это направленный отрезок прямой линии, харак­теризуемый только его длиной и направлением. На рис. 1.1 показаны два представления одного и того же вектора а = PQ = b = RS. Следовательно, при переносе вектор не изменяется. На рис. 1.2 начальная точка вектора b совпадает с конечной точкой вектора а. Тогда сумма векторов а и b определяется как вектор с, прове­денный из начальной точки вектора а в конечную точку вектора b, поэтому можно записать

с = а + b

Длина вектора а обозначается | а | и равна расстоянию между его начальной и конечной точками. Вектор с нулевой длиной называется нулевым вектором и обозначается 0. Обозначение -а вменяется для вектора, имеющего длину | а |, направление которого обратно направлению вектора а. Для любого вектора а и вещественного числа с вектор са имеет длину | с || а |. Если а = 0 или с = 0, то са = 0, в противном случае вектор са совпадает по управлению с вектором а, если с > 0, или имеет противополож­ное направление, если с < 0. Для любых векторов u, v, w и веще­ственных чисел с, k будем иметь

u + v = v + u

(u + v) + w = u + (v + w)

u + 0 = u

u + (-u) = 0

с(и + v) = си + cv

(c+k)u = cu+ku

c(ku) = (ck)u

1u = u

0u = 0

На рис. 1.3 показаны три единичных вектора i, j, k. Они вза­имно перпендикулярны, имеют длину, равную 1, и определяют направления координатных осей. Можно сказать, что векторы i, j, k образуют тройку ортогональных единичных векторов. Коор­динатная система является правой, это означает, что если поворот от вектора i к вектору j на 90° соответствует повороту винта с 1 правой резьбой, то вектор k совпадает с направлением перемещения винта.

Точка О в начале координатной системы часто является на­чальной точкой всех векторов. Любой вектор v может быть записан как линейная комбинация единичных векторов i, j, k

v = xi + yj + zk

Вещественные числа х, у, z определяют координаты конечной точки Р вектора v = ОР. Этот вектор v может быть обозначен либо в виде строки, либо в виде столбца

é x ù

v = [х у z] или ê y ú

ë z û

Числа х, у, z иногда называют элементами вектора v.

Дата добавления: 2014-01-14