Детерминанты

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Скалярное произведение двух векторов а и b обозначается через а•b и определяется как

a•b = | a | | b | cosg если а ¹ 0 и b ¹ 0

а•b = 0 если а = 0 или b = 0 (2.1)

где g — угол между а и b. Применяя это правило к единичным векторам i, j, k, находим

i•i = j•j = k•k = 1

i•j = j•i = j•k = k•j = k•i = i•k = 0 (2.2)

Приравнивая a = b в уравнении (2.1) получаем a•a = | a |², так что

___

|a| = Ö|a*a|.

Важные свойства скалярного произведения:

c(ku•v) = ck(u•v)

(cu + kv) •w = cu•w + kv•w

u•v = v•u

u•u = 0 только если u = 0

Скалярное произведение векторов u = [u₁ u₂ u₃] и v = [v₁ v₂ v₃] может быть вычислено как

u•v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Это легко доказать, переписав правую часть уравнения

u•v = (u₁i + u₂j + u₃k) • (v₁i + v₂j + v₃k)

в виде суммы девяти скалярных произведений и проанализировав их на основании выражения (2.2).

Перед описанием векторного произведения обратим внимание на детерминанты. Чтобы решить следующую систему двух линейных уравнений:

ì a₁x + b₁y = c₁

í (3.1)

î a₂x + b₂y = c₂

необходимо умножить первое уравнение на коэффициент b₂, а второе — на коэффициент -b₂ и сложить, тогда получим

(a₁b₂-a₂b₁)x = b₂c₁ – b₁c₂.

После этого можно первое уравнение умножить на -а₂, а второе - на а₁ и также сложить. В результате получим

(a₁b₂-a₂b₁)y = a₁c₂ – a₂c₁.

Если а₁b₂ - а₂b₁ не равно нулю, то можно выполнить деление и найти

b₂c₁ - b₁c₂a₁c₂ – a₂c₁

x = (a₁b₂ - a₂b₁), y = (a₁b₂ – a₂b₁) (3.2)

Выражение в делителе можно записать в форме

| a₁ b₁ |

ça₂ b₂ú

В этом случае оно называется детерминантом второго порядка.

Следовательно,

| a₁ b₁ | = a₁b₂-a₂b₁

ça₂ b₂ú

С помощью детерминантов уравнение (3.1) может быть записано в виде

D₁D₂

x = D, y = D, (D ¹ 0)

где

| a₁ b₁ | | c₁ b₁ | | a₁ c₁ |

D = | a₂ b₂ | D₁= | c₂ b₂ | D₂ = | a₂ c₂ |

Заметим, что D_i получается путем замены i-гî столбца в D на правую часть системы уравнений (3.1) (i = 1 или 2). Такой способ решения системы линейных уравнений называется "правилом Крамера". Этот способ пригоден не только для системы двух уравнений (хотя с точки зрения затрат машинного времени он оказывается очень дорогим для больших систем). Определим де­терминант третьего порядка в виде уравнения

| a₁ b₁ c₁ | | b₂ c₂ | | b₁ c₁ | | b₁ c₁ |

D = | a₂ b₂ c₂ | = a₁ | b₃ c₃ | - a₂ | b₃ c₃ | - a₃ | b₂ c₂ |

| a₃ b₃ c₃ |

и детерминант четвертого порядка

| a₁ b₁ c₁ d₁ |

| a₂ b₂ c₂ d₂ |

D = | a₃ b₃ c₃ d₃ | =

| a₄ b₄ c₄ d₄ |

| b₂ c₂ d₂ | | b₁ c₁ d₁ | | b₁ c₁ d₁ | | b₁ c₁ d₁ |

= a₁ | b₃ c₃ d₃ | - a₂ | b₃ c₃ d₃ | +a₃ | b₂ c₂ d₂ | - a₄| b₂ c₂ d₂ |

| b₄ c₄ d₄ | | b₄ c₄ d₄ | | b₄ c₄ d₄ | | b₃ c₃ d₃ |

и так далее.

Детерминанты имеют много интересных свойств, некоторые из них перечислены ниже.

1. Значение детерминанта не изменится, если строки записать в виде столбцов в том же порядке, например:

| a₁ b₁ | = | a₁ a₂ |

ça₂ b₂ú çb₁ b₂ú

2. Если произвести взаимную замену двух строк (или двух столбцов), то значение детерминанта будет умножено на -1:

| a₁ b₁ c₁ | | b₁ a₁ c₁ |

| a₂ b₂ c₂ | = - | b₂ a₂ c₂ |

| a₃ b₃ c₃ | | b₃ a₃ c₃ |

3. Если любую строку (или столбец) умножить на коэффици­ент, то значение детерминанта также будет умножено на этот коэффициент. Например:

| ca₁ cb₁ | = c | a₁ a₂ |

ça₂ b₂ú çb₁ b₂ú

4. Если строка (или столбец) изменяется путем добавления соответствующих элементов другой строки (или столбца), умноженных на константу, то значение детерминанта не изменится. Например:

| a₁ b₁ c₁ | | a₁ b₁ c₁ |

| a₂ b₂ c₂ | = | a₂ b₂ c₂ |

| a₃ + ka₁ b₃ + kb₁ c₃ + kc₃| | a₃ b₃ c₃ |

5. Если строка (или столбец) является линейной комбинацией некоторых других строк (или столбцов), то значение детер­минанта равно нулю. Например:

| a₁ b₁ c₁ |

| a₂ b₂ c₂ | = 0

| 3a₁ - 2a₂ 3b₁ - 2b₂ 3c₁ - 2c₂|

Существует много полезных применений детерминантов. Детерминантные уравнения, выражающие геометрические свойства, элегантны и легки для запоминания. Например, уравнение для прямой линии в двухмерном пространстве, R₂, проходящей через две точки P₁(x₁, y₁) и P₂(x₂, y₂) может быть записано в виде

| x y 1 |

| x₁ y₁ 1 | = 0 (3.3)

| x₂ y₂ 1 |

Такая запись становится очевидной, если, во-первых, рассматривать уравнение (3.3) как специальное обозначение линейных уравнений по х и у и, следовательно, представляющих прямую линию в пространстве R₂, и, во-вторых, можно убедиться, что координаты обеих точек P₁ и P₂ удовлетворяют этому уравнению, поскольку при их подстановке в первую строку получим две одинаковые строки. Аналогично, плоскость в трехмерном пространстве, R₃, проходящая через три точки P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), P₃(x₃, y₃, z₃), будет описываться уравнением

| x y z 1 |

| x₁ y₁ z₁ 1 | = 0

| x₂ y₂ z₂ 1 |

| x₃ y₃ z₃ 1 |

Дата добавления: 2014-01-14