Вычисление интегралов от периодических функций

Пусть дана 2p — периодическая функция , т.е. при. Построим квадратурную формулу

(9.1)

Рассмотрим тригонометрический многочлен порядка т:

(9.2)

(здесь хотя бы один из коэффициентов а_т или b_m отличен от нуля.)

Будем заменять функцию тригонометрическим многочленом.

О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что квадратурная формула (9.1) имеет тригонометрическую степень точности m, если она точна для всех тригонометрических многочленов порядка т и ниже, и найдется тригономеорический многочлен порядка , для которого формула не будет точна.

Теорема 1. Если квадратурная формула имеет вещественные узлы и вещественные коэффициенты , то ее тригонометрическая степень точности не выше .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в рассмотрение функцию

,

где — узлы квадратурной формулы. Здесь — тригонометрический многочлен

1-го порядка т.к.

Следовательно, f(x) — тригонометрический многочлен степени п. Рассмотрим квадратурную формулу для этой функции:

Интеграл, стоящий слева, строго больше 0. А правый член равен 0. Значит, мы имеем тригонометрический многочлен порядка п, для которого квадратурная формула не точна. g

Рассмотрим составную формулу прямоугольников:

(9.3)

Теорема 2. Формула (9.3) точна для .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

. При , f = 1, и формула, очевидно, точна. Пусть . Тогда . Для имеем

.

Последняя сумма является суммой геометрической прогрессии со знаменателем . Значит,

. Значит, формула (9.3) точна для тригонометрического многочлена порядка т при .

Таким образом, мы показали, что составная формула прямоугольников имеет наивысшую тригонометрическую степень точности.

Дата добавления: 2014-01-14