Метод простых итераций

Лекция 7.

«Метод простых итераций.»

Перейдем непосредственно к задаче решения уравнения методом простой итерации, основным моментом которого является сведение исходного уравнения к эквивалентному уравнению вида .

.

Пусть задача локализации корня уже решена, то есть известно, что единственный корень уравнения находится в отрезке . Используя принцип сжатых отображений Банаха, можно построить итерационный процесс с любым начальным приближением . Предел последовательности будет единственной неподвижной точкой отображения, то есть решением уравнения , а значит и уравнения . Однако для этого нужно, чтобы отображение в уравнении было сжатым отображением .

В общем случае оставляем открытым вопрос о том, как свести уравнение к виду так, чтобы отображение было сжатым . Однако, если функция непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке и на , то сведение уравнения к виду осуществляют следующим образом:

, где ,

Если в качестве константы l взять , то

,

То есть .

1. Докажем сперва, что j есть отображение , то есть что для любого также принадлежит . Так как на отрезке , то возрастает на . Так как

(отрезок содержит корень по предположению), то

.

по т. Лагранжа

То есть находится от не далее, чем a.

по т. Лагранжа

То есть находится от не далее, чем b.

Следовательно, . Так как и возрастает на , то , то есть . А, значит, . Итак, отображение j отображает отрезок в .

2. Докажем теперь, что j есть сжатое отображение . По теореме Лагранжа для любых найдется точка такая, что , то есть .

Так как на , то , где . Итак, условие сжатости отображения доказано.

Заметим, что если функция будет удовлетворять условию , то аналогично можно показать, что в качестве коэффициента l следует взять .

Дата добавления: 2014-01-14