Метод Ньютона

Лекция 8.

End.

Repeat

Begin

Begin

Begin

F:=x*sqr(x)+2*sqr(x)+2;

End;

Function fi(x:real):real;

Fi:=x+la*f(x);

End;

ClrScr;

X2:=-2.5;

x1:=x2;

x2:=fi(x1);

Until abs(x2-x1)<e*(1-k)/k;

WriteLn(x2:3:3);

ReadKey;

После выполнения программы будет получен ответ .

«Метод Ньютона.

Оценка погрешности метода Ньютона.»

Рассмотрим уравнение , причем удовлетворяет следующим условиям: , , то есть функция принимает на концах отрезка значения с противоположными знаками, производные и сохраняют знак в отрезке .

При этих условиях возможны четыре случая, указанные на рисунках 2.2, 2.3, 2.4, 2.5.

Заметим, что на рисунке 2.2 функция возрастает и вогнута, на рисунке 2.3 – убывает и вогнута, на рисунке 2.4 – возрастает и выпукла, на рисунке 2.5 – убывает и выпукла.

1. , . 2. , .

Рис. 2.2. Рис. 2.3.

3. , . 4. , .

Рис. 2.4. Рис. 2.5.

Примем за тот конец отрезка , в котором функция имеет тот же знак, что и . Метод Ньютона, называемый также методом касательных, состоит в следующем. Рассмотрим в точке касательную к кривой , задаваемую уравнением . Положив , найдем точку пересечения касательной с осью Ox.

Построив касательную в точке , получаем по аналогичной формуле точку пересечения этой касательной с осью Ox.

Продолжая этот процесс, получаем

Полученная итерационная последовательность является убывающей (возрастающей) и ограниченной снизу (сверху). По соответствующей теореме из анализа эта последовательность имеет предел . Покажем, что он равен корню уравнения.

Перейдем в равенстве к пределу, пользуясь непрерывностью и . Имеем . Из последнего равенства следует, что , то есть .

Дата добавления: 2014-01-14