Поток вектора через поверхность

Поверхностные интегралы

Пусть в пространстве задано поле скоростей текущей жидкости, которое определяется вектором :

, где , , - непрерывны.

Пусть в этом пространстве определена некоторая поверхность . Определим количество жидкости, которое протекает через поверхность в единицу времени, то есть определим поток жидкости через поверхность - поток .

Разобьем поверхность произвольным образом на частей: , ,…, . Выберем на каждом участке разбиения точку . Будем предполагать, что участки плоские, а векторы скорости на каждом из участков разбиения постоянны и совпадают с вектором вычисленным в точке . Тогда элементарный поток через -ую площадку будет равен объему цилиндра с основанием и высотой равной проекции вектора на единичный вектор нормали к поверхности :

. Пусть единичный вектор имеет координаты . Тогда . Поток через всю поверхность определяется:

(1)

Чтобы определить точное значение следует перейти в равенстве (1) к пределу, когда максимальное значение . Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом первого рода (или по площади поверхности) и обозначается

Дата добавления: 2014-01-14