Раскрытие неопределенности вида {0/0})

Предел отношения двух бесконечно малых величин.

f(x), g(x) [a,b]

1. определены, непрерывны.

2. Дифференцируемы во всех внутренних точках

3. g^/(x) 0

4. в некоторой точке x=a f(a)=0 g(a)=0.

Отношение f(x)/g(x) не определено при x=a, но определенно во всех точках xa.

Найдем

Теорема. Правило Лапиталя. Пусть функции f(x) и g(x) на некотором [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращается в 0 в т. x=a, тогда если существует предел отношения то существует и , причем .

Док-во.

Пусть xa. Применяя формулу Коши для отрезка [a,x]

a<<x

f(a)=g(a)=0

, если xa, то и a

Если существует , то .

Замечание 1. Правило Лапиталя имеет место и в том случае, если функция f(x), g(x) не определены при x=a, но lim f(а) = lim g(a) = 0. Надо доопределить функции в т. x=a, чтобы они оказались непрерывными .

Замечание 2. Если f^|(a)=g^|(a)=0, то производные удовлетворяют условию правила Лапиталя и

Примеры.

Замечание 3. Правило Лапиталя применимо, если

и

пологая

Дата добавления: 2014-01-14