Необходимое условие существования экстремума

Если дифференцируемая функция f(x) имеет в т. x=x₁ max или min, то ее производная обращается в нуль в этой точке f`(x₁)=0

Доказательство:

Пусть при x=x₁ max тогда для достаточно малом Дx f(x₁+Дx)<f(x₁)

Переходя к пределу, получим f`(x<sub>1</sub>) > 0 при Дx<0, f`(x₁) < 0 при Дx<0. Следовательно. f`(x₁)=0

Геометрический смысл. Если в т. max и min функция имеет производную, то производная параллельна ox.

Обратное утверждение неверно. т.е. если f`(x₁)=0, x₁ не обязательно является т. экстремума.

y=xі; y`=3xІ при x=0 y`=0

но функция всюду возрастает.

Рассмотрим случай, когда в некоторых т. [a,b] производная не существует. Покажем на примерах, что в таких точках тоже может быть экстремум функции.

1) y=|x|

в т. x=0 y` не существует, но в т. x=0 функция имеет min т.к. в любой отличной от 0 точке y>0.

2)

3)

т.е. не существование производной также не является остаточным условием экстремума.

Функция может иметь экстремум если:

1) производная f`(x)=0

2) производная с т. x=x₁ не существует_.

Значения аргумента при которых f`=0 или f` не существует называется критическими точками первого рода.

Дата добавления: 2014-01-14