Достаточное условие экстремума

Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x₁ и дифференцируема в всех т. этого интервала (за исключением, может быть x₁). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с + на -, то при x=x₁ функция имеет max. Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с - на +, то при x=x₁ функция имеет min.

+ - max

- + min

Доказательство.

Предположим, производная меняет знак с + на –

f`(x)>0 при x<x₁

f`(x)<0 при x>x₁

Применяем теорему Лагранжа

f(x)-f(x₁)=f`(о)(x-x₁)

о лежит между x и x₁

1. Пусть x<x₁ тогда

о <x₁ f`(о)>0

f(x)-f(x₁)<0 f(x)<f(x₁)

2. Пусть x>x₁ тогда

о >x₁ f`(о)<0

f(x)-f(x₁)>0 f(x)>f(x₁)

Следовательно для всех т. достаточно близких к x_1, значения функции в т. x. Следовательно в т. x₁ функция имеет max.

1) при x=x₁ функция переходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет max.

2) в т. x₂ функция переходит от убывания к возрастанию, те имеет минимум
3) при x=x₃

f`(x)>0 при x<x<sub>3</sub> и f`(x)>0 при x>x₃

производная не меняет знак. Функция не имеет экстремума.

Пример.

y=(xі)/3-2xІ +3x+1

y`=xІ -4x +3 y`=0

xІ -4x+3=0

Критические точки первого рода x₁=1, x₂=3.

x	-,1		1 3		3
y`(x)	+		-		+
y	↑	Max y=7/3	↓	Min y=1	↑

Второе достаточное условие экстремума.

Пусть при x=x₁ f`(x)=0, вторая производная f``(x) существует и непрерывна в некоторой т x₁.

Теорема. Пусть f`(x)=0, тогда при x=x₁ функция имеет max, если f``(x)<0 и min, если f``(x)>0

Пример:

y=xІ(a-x)І

y`=2x(a-x)І -xІ2(a-x)І =(a-x)2x(a-x-x)=0

y``=2(a-x)І-2x2(a-x)-2x2(a-x)+2xІ =

=2aІ -4ax+2xІ +4ax+2xІ -4ax+4xІ +2xІ

Доказательство.

Пусть f`(x)=0 f``(x)<0.

Т.к. f``(x) непрерывна в некоторой окрестности x=x<sub>1</sub>, то окрестность f``(x)<0.

f^|| есть производная функции f^| и следовательно функция f^| в окрестности x₁ убывает, но в точке x₁ f^|=0. Следовательно при x<x₁ f^|(x)>0, а при x>x₁ f^|(x)<0, т.е. производная при переходе через точку x₁ меняет знак с + на -, а это значит, что в точке x₁ имеем max.

Замечание.

Если в критической точке f``=0, исследование нужно вести по первому признаку.

Пример 1.

Исследовать на максимум и минимум y=2sin(x)+cos(2x).

Достаточно на [0,2р].

y`=2cos(x)-2sin(2x)=2cos(x)(1-2sin(x))=0

cos(x)=0 sin(x)=1/2

Критические точки:

y``=-2sin(x)-4cos(2x)

Исследуем каждую критическую точку

Пример 2.

Дата добавления: 2014-01-14