Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Функция непрерывная на отрезке достигает своего наибольшего значения, либо внутри отрезка в точке наибольшего значения, либо на концах отрезка.

Правило.

1) Найти все max и min.

2) Найти f(a) и f(b).

3) Из всех полученных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример

y=xі -3x+3 [-3,3/2]

y`=3xІ -3 x₁=1 x₂=-1

y``=6x

y``(1)>0 min

y``(-1)<0 max

y(-3)=-15 y(-1)=5 y(1)=1 y(3/2)=15/8

наименьшее значение y(3)=-15

наибольшее значение y(-1)=5

Определение 1.

Кривая, называется выпуклой на интервале (a,b), если все ее точки расположены ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение 2.

Кривая, называется вогнутой на интервале (a,b), если все ее точки расположены выше любой ее касательной на этом интервале.

Теорема 1.

Если во всех т. интервала (a,b) f``(x)<0, то кривая выпукла на этом интервале.

Возьмем на (a,b) произвольную т. x₀ и проведем в ней касательную. В любой т. x кривая расположена ниже касательной.

y=f(x) – уравнение кривой.

=f(x₀)+ f`(x₀)(x-x₀)- уравнение касательной.

y-<0 во всех точках интервала (a,b)

f(x)-f(x₀)-f`(x<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>)=f`(о)(x-x₀)-f`(x₀)(x-x₀)=

=[f`(о)-f`(x₀)](x-x₀)=f``(о ₂)( о –x₀)(x-x₀)

1) x>x₀, x₀< о <x

f``<0 о -x₀>0 x-x₀>0 y-<0

2) x<x₀, x< о <x₀, о -x₀<0, x-x₀<0

y-<0

Теорема 2. Если во всех т. интервала (a,b) f``(x)>0, то кривая вогнута на этом интервале.

Примеры: y=xІ y`= 2x y``= 2 > 0

y=xі y`=3xІ y``=6x выпуклая x<0, вогнутая x>0.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой называется т. перегиба.

Теорема 3. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f``(a)=0 или f``(a) не существует и при переходе через x=a вторая производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть т. перегиба.

Доказательство.

Пусть f``<0 x<a выпуклая, f``>0 x>a вогнутая

Пример.

Пример. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

y=xі -5xІ +3x -5

y`=3xІ -10x +3

y``=6x-10 =0

x=10/6

x<10/6 x=1 y``<0 - выпуклая

x>10/6 x=2 y``>0 - вогнутая

Дата добавления: 2014-01-14