Первообразная. Неопределённый интеграл

Лекция 19-20. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Основная задача дифференциального исчисления: по заданной функции ƒ(х) найти её производную ƒ^/(x) или дифференциал ƒ^/(x) dx. Теперь будем решать обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу найти саму функцию ƒ(х).

С точки зрения механики это значит, что по известной скорости движения найти закон движения.

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F^/(x)=ƒ(х) или dF(x)=ƒ(x)dx

Простейшие примеры:

так как

так как

Если для ƒ(х) существует первообразная F (x), то существует и бесчисленное множество первообразных. Например, для ƒ(х) = х ² первообразными будут функции:

и т.д.

Теорема 1: Если F(x) есть первообразная для функции ƒ(х) на (a, b), то функция F(х) + C – так же первообразная, где C - любое число.

Теорема 2: Если две функции F(x) и Ф(х) являются первообразными для ƒ(х) на (a,b), то их разность постоянна на этом интервале: Ф(х) – F(x) = C

Из данных теорем следует, что если F (x) есть первообразная для ƒ(х) на (a, b), то любая другая первообразная Ф (х) для ƒ(х) на (a, b) имеет вид (1)

Таким образом, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Множество всех возможных первообразных функции ƒ(х) на интервале (a, b) называется неопределённым интегралом функции ƒ(х) и обозначается символом

Знак называется интегралом, ƒ(х) – подынтегральная функция, ƒ(х) dx – подынтегральное выражение. Таким образом, если F (x) – одна из первообразных для ƒ(х), то; по определению:

Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразная) называют интегрированием функции ƒ(х). В приложениях интегрировать приходится чаще, чем дифференцировать.

Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой.

Теорема: Если функция ƒ(х) непрерывна на (a, b) то для неё существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема.

Дата добавления: 2014-01-14