Тригонометрические ряды

Рассмотрим систему функций (1). Очевидно, что для нее выполняются условия:

(3)

(4)

(5)

При m=n получим

(6)

(7)

Докажем равенства (3) и (5)

Ряд вида

(7)

называется рядом Фурье. Предположим. что ряд (7) сходится равномерно. Для этого достаточно выполнения условия

(8)

Ряд (8) мажорирует ряд (7).

Тогда его сумма f(x) есть непрерывная функция. По свойствам гармонических функций f(x) - 2p-периодическая функция. В силу равномерной сходимости мы можем интегрировать ряд (7) почленно. Проинтегрируем ряд (7) в пределах от 0 до 2p.

(9)

Умножим ряд (7) на cos nx и проинтегрируем полученный ряд в пределах от 0 до 2p. Все члены ряда, за исключением содержащего a_n обратятся в 0.

(10)

Умножим ряд (7) на sin nx и проинтегрируем полученный ряд в пределах от 0 до 2p. Все члены ряда, за исключением содержащего b_n обратятся в 0.

(11)

Таким образом, если функция f(x) разлагается в ряд Фурье, то коэффициенты ряда находим по формулам (9-11). Для того, чтобы не вводить специальной формулы для a₀, полагают

А ряд Фурье записывают в виде.

(12)

коэффициенты которого находим по формулам

(13)

(14)

Дата добавления: 2014-01-14