Определение и существование тройного интеграла

Пусть в области V, ограниченной некоторой поверхностью S, задана непрерывная функция u=f(x,y, z). Выберем прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Построим тело V. Разобьем область V на достаточно большое число частей достаточно малого размера системой поверхностей. Назовем эти части элементарными объемами и перенумеруем их произвольным образом. Обозначим объем элементарных объемов DV₁, DV₂, DV₃,..., DV_n. Выберем в каждом элементарном площадке DV_i точку M_i(x_i,h_i,z_i) ÎDV_i, i=1,2,...,n. Вычислим в каждой из точек значение u_i=f(M_i )= f(x_i,h_i,z_i). Вычислим для каждого элементарного объема значение Dm_i = f(M_i ) DV_i = f(x_i,h_i,z_i) DV_i. Назовем диаметром элементарного объема величину наибольшего отрезка, проходящего через элементарную площадку. Обозначим l_i диаметр элементарного объема. Обозначим maxçDl_iç=l. Начнем строить различные интегральные суммы так, чтобы l®0 и, соответственно, n®¥.

Определение. Предел интегральных сумм вида (1) при l®0, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора значений M_i(x_i,h_i,z_i) ÎDV_i на этих частях, называется тройным интегралом по области V от функции u=f(x,y, z) по dxdydz. Обозначается

(2)

Дата добавления: 2014-01-14