Достаточный признак сходимости

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Перейдем к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Пусть некоторый член ряда больше 0 тогда такой ряд имеет вид: u₁-u₂+u₃-u₄+…+(u-1)ⁿ⁺¹u_n (1)

Знакочередующийся ряд - частный случай знакопеременных рядов. Для них имеет место.

Теорема Лейбница:

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают (2): u₁>u₂>…>u_n и общий член ряда а стремится к 0 ,то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого числа.

Замечание 1:

Теорема Лейбница справедлива если неравенство(2) выполняется с некоторого N.

Замечание 2:

S₁=u₁

S₂=u₁-u₂=S₁-u₂

S₃=S₂+u₃=S₁-u₂+u₃

S₄=S₃-u₄

Точки соответствующие частичным суммам будут приближаться к некоторой точке S (сумма ряда) при этой же точке соответствующей четным суммам будут располагаться слева от S, нечетные справа от S.

Замечание 3

Если знакочередующийся ряд удовлетворяют условиям теоремы Лейбница, то можно оценить ошибку которая получается при замене суммы ряда S ее частной суммой S_n при этом мы отбрасываем все члены ряда, начиная с u_n+1, но отброшенные числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого меньше первого члена этого ряда, поэтому если бы обозначили S-S_n=R_n,то çR_nç<u_n+1 (4)

Ошибка, совершаемая при замене S на S_n, не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного числа.

Дата добавления: 2014-01-14