Турбулентный режим течения

Для труб круглого сечения переход от ламинарного режима к турбулентному начинается при Re_d > 2300, а для Re_d > 10⁴ реализуется развитое турбулентное течение. Решим задачу определения полей скорости, давления и тензора напряжений (потока импульса) как и в случае ламинарного движения. Использовав координату y = R - r, элемент тензора вязких напряжений (поток импульса rW_x в направлении r за счет молекулярного и турбулентного механизмов переноса) можно записать

(61)

Далее в данном разделе не будут указываться индексы при обозначении . Основная сложность описания турбулентного движения заключается в отсутствии строгих теоретических соотношений для коэффициента турбулентной вязкости n_т, который к тому же является функцией поля скорости. По аналогии с длиной свободного пробега молекул газа Прандтлем введено понятие пути смешения , характеризующее расстояние, на котором турбулентный вихрь перемещаясь сохраняет свою индивидуальность. С учетом этого

(62)

Рис. 16. Профиль скорости при турбулентном стабилизированном течении в цилиндрической трубе: 1 - вязкий подслой; 1+2 - пристенная область; 2+3 - турбулентная область.

Воспользуемся наиболее простой двухслойной моделью пристенной турбулентности Прандтля. Учитывая, что интенсивность турбулентных пульсаций от ядра потока к стенке снижается до нуля и в непосредственной близости от стенки преобладающим механизмом переноса импульса является молекулярный (n > n_т), можно подразделить пристенную область (y << R) (y / R < 0.1) на две подобласти. В первой из них, называемой вязким (ламинарным) подслоем (y < d_1,г) учитывается только молекулярный механизм переноса импульса, а во второй (y > d_1,г) - только турбулентный (рис.16). Поток импульса во всей пристенной области считается постоянным и равным потоку импульса на стенке t = const = t_c. Для удобства записи вводится понятие динамической скорости , связанной простым соотношением с t_c

(63)

В вязком подслое толщиной d_1,г можно интегрированием уравнения потока импульса найти поле скорости, определив константу интегрирования С₁ из граничного условия W_x = 0 при y = 0

(64)

где y* - безразмерная поперечная координата.

Для пристенной области вне вязкого подслоя (y > d_1,г) длина пути смешения полагается прямо пропорциональной расстоянию от стенки. Тогда

(65) (66)

Постоянную С₂ можно определить при

(67) (68)

Для получения явного вида поля скорости необходимо знание двух параметров c, d*_1,г. Они могут быть найдены методом сопряженного физического и математического моделирования, либо непосредственно из эксперимента. Как следует из многочисленных опытных данных, найденный логарифмический профиль скорости (66), (68) является универсальным, т.е. справедлив для любых Re_d > 4 × 10³ с постоянными значениями параметров c = 0,4; d*_1,г = 11,6. Тогда окончательно для пристенной области имеем

; (69)

Существуют и более сложные зависимости для поля скорости: трех - и четырехслойные модели. Мы же ограничимся рассмотрением простейшей. Экспериментальные данные свидетельствуют, что несмотря на зависимость потока импульса от радиуса трубы (t ¹ const), для турбулентного потока вне пристенной области (r / R < 0,9) логарифмический профиль скорости (69) соблюдается вплоть до оси трубы (r = 0), где скорость W_x = W_x,max.

Проведя ряд преобразований можно связать W_x или Re_d с коэффициентом гидравлического трения

(70)

Многочисленные опытные данные подтверждают возможность использования формулы (70) в диапазоне 4×10³ < Re < 10⁷ и говорят о лучшем согласии с экспериментом при замене коэффициента 0,91 на 0,8, что дает поправку для l_г менее 4%. Некоторое неудобство соотношений (69) и (70) заключается в неявном виде зависимостей l_г(Re_d). Поэтому на практике часто используются эмпирические явные выражения l_г, работоспособные в более узких интервалах чисел Re_d. Так заменив логарифмический профиль скорости (69) степенным с показателем 1/7, приемлемым для интервала 4×10³ < Re_d < 10⁵, можно получить соотношение, аналогичное эмпирической формуле Блазиуса (6.105), отличающейся лишь коэффициентом 0,343. Для лучшей сходимости с экспериментом результатов, найденных с использованием профиля скорости (6.104) вместо (6.88), необходимо несколько увеличить толщину вязкого подслоя (d_1,г>11,6).

(71) (72)

Из (72) можно получить явное выражение для коэффициента импульсоотдачи и гидродинамического критерия Нуссельта

(73) (74)

При увеличении критерия Re_d от 4×10³ до 10⁷ уменьшается отношение следующих величин: толщины вязкого подслоя и радиуса трубы d_1,г/R; сопротивлений переносу импульса в вязком подслое и в турбулентной области от; максимальной и средней скорости в трубе . Для ламинарного течения . Участок гидродинамической стабилизации для турбулентного режима движения составляет .

Таким образом, решена задача гидродинамики и для турбулентного стабилизированного движения в цилиндрической гладкой трубе. Однако при этом уравнения движения и неразрывности пришлось дополнить соотношениями для n_т в рамках модели пристенной турбулентности Прандтля.

На практике дело приходится иметь не только с гладкими, но и с шероховатыми трубами. Под шероховатостью понимают неоднородность поверхности, вид которой зависит от материала труб, способа их изготовления и эксплуатации. Степень шероховатости e (относительная шероховатость) характе-ризуют отношением средней высоты бугорков D (абсолютная шероховатость) к внутреннему диаметру трубы d. Для новых стальных труб , чугунных , у старых загрязненных труб значения D достигают 2 мм.

При ламинарном режиме движения шероховатость труб практически не влияет на коэффициент трения l_г. Для турбулентного режима можно выделить три области влияния шероховатости на гидравлическое сопротивление трубопровода. В области гладкого трения высота бугорков значительно меньше толщины вязкого подслоя D << d_1,г, они плавно обтекаются потоком и шероховатость не влияет на коэффициент трения l_г. При увеличении Re_d толщина вязкого подслоя уменьшается и становится соизмеримой с величиной абсолютной шероховатости (область смешанного трения). Вокруг бугорков начинается вихреобразование, что приводит к потерям энергии потока и дополнительному увеличению коэффициента трения l_г, величина которого в области смешанного трения зависит от Re_d и e. При дальнейшем увеличении критерия Рейнольдса толщина вязкого подслоя становится значительно меньше высоты бугорков D >> d_1,г, коэффициент трения l_г практически перестает уменьшатся и зависеть от критерия Re_d и определяется лишь шероховатостью труб (автомодельная область).

Все результаты получены при допущении о постоянстве теплофизических характеристик среды: r,m = const. Однако если движение сопровождается тепло - или массоотдачей, то такие допущения неправомерны, так как r и m становятся зависимыми от температуры или концентрации среды. В этом случае поля скорости, температуры и концентраций оказываются взаимозависимы. Аналитическое решение получить, как правило не удается и учет влияния тепло - массообмена на гидродинамику производится с помощью эмпирических поправочных множителей, приводимых в справочной литературе.

Дата добавления: 2014-01-14