Система уравнений (9) и называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты-выпуск»)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

- Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной про­дукции каждой отрасли (Y_i):

Y = (E -A)*X (10)

- Задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

X = (E – A)^-1*Y (11)

- Для ряда отраслей, задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (10), а системой линейных уравнений (8).

В формулах (10) и (11) E обозначает единичную матрицу n –того порядка, а (E – A)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (E – A). Если определитель матрицы (E – A) не равен нулю, т.е. матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через B = (E – A) ^-1, тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде:

X = B*Y (12)

Элементы матрицы B = (b_ij) называются коэффициентами полных материальных затрат. Они включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Коэффициенты полных материальных затрат показывают, какое количество продукции i-той отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-той отрасли. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукции не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если выполняется условие продуктивности матрицы.

Дадим определение. Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1. существует обратная матрица (E – A) ^-1 все элементы которой неотрицательны.

2. Матричный ряд E + А + A²+ A³ + ….=A^k сходится, причем его сумма равна обратной матрице (E – A) ^-1.

3. Пример использования модели Леонтьева «затраты-выпуск»

Пример 1. Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y_i для трехотраслевой экономической системы:

0,3 0,1 0,4 200

А = 0,2 0,5 0,0 Y = 100

0,3 0,1 0,2 300

Требуется определить:

а) Коэффициенты полных затрат;

б) Вектор валового выпуска;

в) Межотраслевые поставки продукции;

г) Проверить продуктивность матрицы А;

д) Заполнить схему межотраслевого баланса.

Дата добавления: 2014-01-14