Понятие числовых характеристик случайных величин

План

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЛЕКЦИЯ № 6

1. Понятие числовых характеристик случайных величин

2. Математическое ожидание

3. Дисперсия

4. Среднее квадратическое отклонение

5. Начальные и центральные моменты

Если рассматривать не одну, а две и более случайных величин, то необходимо знать, изменяется или не изменяется закон распределения одной из них в зависимости от того, какое значение принимают другие случайные величины.

Определение 6.1. Если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, та такие случайные величины называются независимыми в совокупности.

Определение 6.2. Если закон распределения одной случайной величины зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, та такие случайные величины называются зависимыми в совокупности.

Пример 6.1. В книжном магазине организована лотерея. Разыгрываются две книги стоимостью по 100 руб. и одна – стоимостью в 300 руб. Составить закон распределения случайной величины – суммы чистого (возможного) выигрыша для того, кто приобрел один билет за 10 руб., если всего продано 50 билетов.

Случайна величина может принимать три значения: -10 (если владелец билета не выиграл, а фактически проиграл 10 руб.), 90 руб. и 290 руб.

Закон распределения случайной величины будет иметь следующий вид:

Сумма выигрыша	-10
Вероятность	47/50	2/50	1/50

Предположим, что два посетителя магазина приобрели по одному билету стоимостью 10 руб. Составить закон распределения случайной величины – сумма выигрыша для второго посетителя, если первый выиграл книгу в 100 руб.

В этом случае закон распределения случайной величины имеет вид:

Сумма выигрыша	-10
Вероятность	47/49	1/49	1/49

Пусть первый покупатель выиграл книгу стоимостью 300 руб. Тогда закон распределения случайной величины изменится:

Сумма выигрыша	-10
Вероятность	47/49	2/49

Таким образом вид распределения случайной величины зависит от того, какое одно из своих возможных значений приняла случайная величина . Это означает, что случайные величины и зависимы.

Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями , а случайная величина принимает значения с вероятностями . Определим некоторые операции над случайными величинами.

Определение 6.3. Произведение случайной величины на постоянную величину есть случайна величина , которая принимает значения с теми же вероятностями, что и случайная величина .

Определение 6.4. Квадрат случайной величины , т.е. – это случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями, что и случайная величина .

Определение 6.5. Суммой случайных величин и называется случайная величина , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения с каждым возможным значением , а вероятности возможных значений для независимых величин равны произведению вероятностей слагаемых; для зависимых величин – произведениям вероятностей одного слагаемого на условную вероятность второго.

Определение 6.6. Произведением независимых случайных и называется случайная величина , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение , а вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

Закон распределения, как известно, исчерпывающим образом описывает распределение вероятностей случайной величины. Однако часто закон распределения неизвестен или при решении практических задач необязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. В этом случае используют некоторые количественные показатели, которые в компактной форме позволяют отразить существенные особенности случайной величины.

Эти показатели случайной величины, являющиеся не функциями, а числами, называют числовыми характеристиками случайной величины. Их назначение – в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К таким числовым характеристикам относятся математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, среднеквадратическое отклонение и т.д. Рассмотрим важнейшие числовые характеристики и изучим их свойства.

Дата добавления: 2014-01-14