Регрессионный анализ. Градуировка

Проведение количественного анализа, как правило, включает в себя построение градуировки, т.е. находждение градуировочной функции экспериментальным путем. Для этого измеряется аналитический сигнал для серии образцов сравнения, в результате получается массив данных: { x_i, y_i }, где x - содержание определяемого компонента, y - аналитический сигнал. На плоскости каждое измерение можно представить точкой:

Градуировочная функция y = f(x) определяется методами регрессионного анализа. Прямо через точки проводить ломаную и считать ее градуировочной функцией нельзя, т.к. измеряемый сигнал содержит погрешность.

Т.о. необходимо:
1) доопределить функцию (между точками)
2) минимизировать погрешность и
3) выбрать вид зависимости.

Вид функции зависимости выбирается исходя из внешней информации (расположения точек на плоскости) и из общих соображений относительно физических и химических законов, связывающих аналитический сигнал с содержанием определяемого компонента (например, построение градуировки в спектрофотометрии опирается на закон Бугера-Ламберта-Бера). Наиболее часто используется линейная зависимость.

Обозначим k - число параметров градуировочной функции, n - число измерений. Мы получаем систему уравнений:

Рассмотрим различные варианты соотношений n и k:

1) n < k - данных недостаточно. Необходимо провести больше измерений или упростить модель - уменьшить число параметров.

2) n = k - у системы единственное точное решение. Однако в этом случае нельзя оценить погрешность измерения

3) n > k - система уравнений несовместна и не имеет точного решения. Существует бесконечное множество приближенных решений, возникает задача аппроксимации.

На практике наиболее распространен 3-й случай. Рассмотрим его более подробно на примере линейного регрессионного анализа (т.е. градуировочная зависимость имеет линейный вид y = ax + b, определяется двумя параметрами a и b, k = 2).

Необходимо найти a и b такие, чтобы погрешность была минимальной.

Один из наиболее распространенных методов нахождения параметров линейной зависимости - метод наименьших квадратов, МНК

Предпосылки МНК:
1) Погрешность аргумента (x) пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью y
2) Погрешность y постоянна (не зависит от x) - постулат равноточности (в условиях реального эксперимента погрешность обычно растет с ростом y)
3) Данные подчиняются нормальному закону распределения
4) Данные независимы, коэффициент корреляции r(y_i,y_j) = 0
5) Отклонение градуировочной функции от экспериментальных данных минимально. В рамках метода наименьших квадратов минимизируется величина , где Y_i - величина аналитического сигнала, рассчитанная по уравнению Y = ax + b, y_i - экспериментальная величина аналитического сигнала

С учетом всех предпосылок получаются следующие выражения для a и b:

О том, как оценивается погрешность градуировки, а также погрешность связанных с ней вычислений, читайте в следующих лекциях.
______________

Спектрофотометрия, метод исследования и анализа веществ, основанный на измерении спектров поглощения в оптической области электромагнитного излучения. Иногда под спектрофотометрией понимают раздел физики, объединяющий спектроскопию (как науку о спектрах электромагнитного излучения), фотометрию и спектрометрию [как теорию и практику измерения соотв. интенсивности и длины волны (или частоты) электромагнитного излучения]; на практике спектрофотометрия часто отождествляют с оптической спектроскопией. По типам изучаемых систем спектрофотометрия обычно делят на молекулярную и атомную. Различают спектрофотометрия в ИК, видимой и УФ областях спектра (смотри Инфракрасная спектроскопия, Ультрафиолетовая спектроскопия).

Применение спектрофотометрии в УФ и видимой областях спектра основано на поглощении электромагнитного излучения соединениями, содержащими хромофорные (напр., С = С, С=С, С=О) и ауксохромные (ОСН₃, ОН, NH₂ и др.) группы (см. Цветность органических соединений). Поглощение излучения в этих областях связано с возбуждением электронов s-, p-и n -орбиталей основного состояния и переходами молекул в возбужденные состояния: s: s*, n: s*, p: p* и n: p* (переходы перечислены в порядке уменьшения энергии, необходимой для их осуществления;). Переходы s: s* находятся в далекой УФ области, например у парафинов при ~ 120 нм. Переходы n: s* наблюдаются в УФ области; например, органических соединений, содержащие n -электроны, локализованные на орбиталях атомов О, N, Hal, S, имеют Полосы поглощения при длине волны около 200 нм. Линии, соответствующие переходам p: p*, например, в спектрах гетероциклических соединений проявляются в области около 250-300 нм и имеют большую интенсивность. Полосы поглощения, соответствующие переходам n: p*, находятся в ближней УФ и видимой областях спектра; они характерны для соединений, в молекулах которых имеются такие хромофорные группы, как С = О, C = S, N = N. Так, насыщенных альдегиды и кетоны имеют максимумы поглощения при длине волны около 285 нм. Переходы типа n: p* часто оказываются запрещенными, и соответствующие полосы поглощения обладают очень малой интенсивностью.

Переходы типа p: p* могут сопровождаться переходом электрона с орбитали, локализованной главным образом на одной группе (напр., С=С), на орбиталь, локализованную на др. группе (напр., С=О). Такие переходы сопровождаются переносом электрона с одного атома на другой и соответствующие спектры наз. спектрами с переносом заряда. Последние характерны для различных комплексов (например, ароматических соединений с галогенами), интенсивно поглощающих в видимой и УФ областях.

Для ионов переходных металлов и их комплексных соединений характерны переходы с участием d -электронов, а для РЗЭ и актиноидов - переходы с участием f -электронов. Соответствующие соединения в растворе бывают интенсивно окрашенными, причем окраска (спектр поглощения) зависит от степени окисления катиона и устойчивости комплексного соединения. Поэтому спектрофотометрия широко используют при исследовании и анализе комплексных соединений металлов.

Изолированные, не взаимодействующие между собой хромофоры в молекуле поглощают независимо. В случае какого-либо взаимодействия между ними аддитивность спектров нарушается. По отклонениям от аддитивности можно судить о характере и величине взаимодействия. Поскольку положение полос в спектре определяется как разность энергий основного и возбужденного состояний молекул, можно определять структуру энергетических уровней молекул или по известной схеме энергетических уровней определять положение полос поглощения. Любому электронному состоянию молекул соответствует набор различных колебательных уровней энергии. Колебательная структура полосы, соответствующей переходу между электронными уровнями, может отчетливо проявляться не только в спектрах газов, но и в спектрах некоторых растворов, что дает возможность получать дополнительную информацию о взаимодействии молекул. Спектрофотометрическое исследование спектров молекул в видимой и УФ областях позволяет установить вид электронных переходов и структуру молекул. При этом часто исследуют влияние различных типов замещения в молекулах, изменения растворителей, температуры и др. физ.-хим. факторов.

В ИК области проявляются переходы между колебательными и вращательными уровнями (смотри Колебательные спектры, Вращательные спектры). Среди частот колебаний молекул выделяют так называемые характеристические, которые практически постоянны по величине и всегда проявляются в спектрах хим. соединений, содержащих определенные функциональные группы (вследствие чего эти частоты иногда называют групповыми). Теория колебаний сложных молекул позволяет расчетным путем предсказать колебательный спектр соединений, т. е. определить частоты и интенсивности полос поглощения.

Колебательные спектры молекул чувствительны не только к изменению состава и структуры (т.е. симметрии) молекул, но и к изменению различных физических и химических факторов, например изменению агрегатного состояния вещества, температуры, природы растворителя, концентрации исследуемого вещества в растворе, различные взаимодействия между молекулами вещества (ассоциация, полимеризация, образование водородной связи, комплексных соединений, адсорбция и т. п.). Поэтому ИК спектры широко используют для исследования, качественного и количественного анализа разнообразных веществ.

В ближней ИК области (10000-4000 см^-1, или 1-2,5 мкм), где расположены обертоны и составные частоты основных колебаний молекул, полосы поглощения имеют интенсивность в 10²-10³ раз меньше, чем в средней ИК области (4000-200 см^-1). Это упрощает подготовку образцов, так как толщина поглощающего слоя может быть достаточно большой (до нескольких мм и более). Экспериментальная техника для работы в этой области относительно проста. Однако чувствительность и селективность определения отдельных соединений невелики. Тем не менее высокое отношение сигнал:шум (до 10⁵) создает хорошие условия для количеств. анализа при содержании определяемого соединений около 1% и выше. Подобные анализы выполняются за 1 мин. В дальней ИК области (200-5 см^-1) могут наблюдаться чисто вращательные переходы.

Интенсивность полосы поглощения молекулы определяется вероятностью соответствующего электронного (или колебательного) перехода. Для характеристики интенсивности полосы служит молярный коэффициент поглощения e, определяемый, согласно закону Бугера-Ламберта-Бера, как e = A/Cl, где А = = — lg T= — lg(I / I ₀), T -пропускание, I ₀ и I -интенсивности соотв. падающего и прошедшего через вещество излучения, С -молярная концентрация вещества, поглощающего излучение, l -толщина поглощающего слоя (кюветы), в см. Обычно e<10⁵, в ИК области e<2•10³ (л/моль•см). Закон Бугера-Ламберта-Бера лежит в основе количественного анализа по спектрам поглощения.

Для измерения спектров используют спектральные приборы-спектрофотометры, основные части которого: источник излучения, диспергирующий элемент, кювета с исследуемым веществом, регистрирующее устройство. В качестве источников излучения применяют дейтериевую (или водородную) лампу (в УФ области) и вольфрамовую лампу накаливания или галогенную лампу (в видимой и ближней ИК областях). Приемниками излучения служат фотоэлектронные умножители (ФЭУ) и фотоэлементы (фоторезисторы на основе PbS). Диспергирующими элементами прибора являются призменный монохроматор или монохроматор с дифракционными решетками. Спектр получают в графической форме, а в приборах со встроенной мини-ЭВМ - в графической и цифровой формах. Графически спектр регистрируют в координатах: длина волны (нм) и(или) волновое число (см^-1)-пропускание (%) и(или) оптическая плотность. Основные характеристики спектрофотометров: точность определения длины волны излучения и величины пропускания, разрешающая способность и светосила, время сканирования спектра. Мини-ЭВМ (или микропроцессоры) осуществляют автоматизированное управление прибором и различную математическую обработку получаемых экспериментальных данных: статистическую обработку результатов измерений, логарифмирование величины пропускания, многократное дифференцирование спектра, интегрирование спектра по различным программам, разделение перекрывающихся полос, расчет концентраций отдельных компонентов и т. п. Спектрофотометры обычно снабжаются набором приставок для получения спектров отражения, работы с образцами при низких и высоких температурах, для измерения характеристик источников и приемников излучения и т.п.

Для исследования спектров в ИК области используют обычно спектрофотометры, работающие в интервале от 1,0 до 50 мкм (от 10000 до 200 см^-1). Основными источниками излучения в них являются стержень из карбида кремния (глобар), штифт из смеси оксидов циркония, тория и иттрия (штифт Нернста) и спираль из нихрома. Приемниками излучения служат термопары (термоэлементы), болометры, различные модели оптико-акустических приборов и пироэлектрические детекторы, например на основе дейтерированного триглицинсульфата (ТГС). В спектрофотометрах, сконструированных по "классической" схеме, в качестве диспергирующих элементов применяют призменный монохроматор или монохроматор с дифракционными решетками. С кон. 60-х гг. 20 в. выпускаются ИК фурье-спектрофотометры, которые обладают уникальными характеристиками: разрешающая способность-до 0,001 см^-1, точность определения волнового числа v-до 10^-4 см^-1 (относит. точность bDv/v!! 10 ^-8), время сканирования спектра может достигать 1 с, отношение сигнал:шум превышает 10⁵. Эти приборы позволяют изучать образцы массой менее 1 нг. К ним также имеются разл. приставки для получения спектров отражения, исследования газов при малых или высоких давлениях, разных температурах и т. п. Встроенная в прибор мини-ЭВМ управляет прибором, выполняет фурье-преобразования, осуществляет накопление спектров, проводит различную обработку получаемой информации.

ИК фурье-спектрофотометры могут содержать программы по автоматической идентификации образца неизвестного состава и определению содержания примесей, например в полупроводниковых материалах.

Спектрофотометрия широко применяют для исследования органических и неорганических веществ, для качественного и количественного анализа различных объектов (в частности, природных), для контроля технологических процессов. Так, разработаны спектрофотометрические методы определения в растворах Сu и Rb (пределы обнаружения 3•10^-6% по массе), Со (2,5 • 10 ^-5 % по массе), Hf и Zr (0,5 мкг/мл); V (0,2 мкг/мл), гликозидов (0,05 мкг), белков (0,2 мкг/мл), тимола (1-2 мкг/мл); в атмосфере можно определить СО, оксиды азота, этилен, О₃, NH₃, CH₄ с пределами обнаружения ~ 10^-7% по массе.

11 Построение градуировочной функции методом наименьших квадратов. Опция «Регрессия» в пакете «Анализ данных» программы «Excel».

Проведение количественного анализа, как правило, включает в себя построение градуировки, т.е. находждение градуировочной функции экспериментальным путем. Для этого измеряется аналитический сигнал для серии образцов сравнения, в результате получается массив данных: { x_i, y_i }, где x - содержание определяемого компонента, y - аналитический сигнал. На плоскости каждое измерение можно представить точкой:

Градуировочная функция y = f(x) определяется методами регрессионного анализа. Прямо через точки проводить ломаную и считать ее градуировочной функцией нельзя, т.к. измеряемый сигнал содержит погрешность.

Т.о. необходимо:
1) доопределить функцию (между точками)
2) минимизировать погрешность и
3) выбрать вид зависимости.

Вид функции зависимости выбирается исходя из внешней информации (расположения точек на плоскости) и из общих соображений относительно физических и химических законов, связывающих аналитический сигнал с содержанием определяемого компонента (например, построение градуировки в спектрофотометрии опирается на закон Бугера-Ламберта-Бера). Наиболее часто используется линейная зависимость.

Обозначим k - число параметров градуировочной функции, n - число измерений. Мы получаем систему уравнений:

Рассмотрим различные варианты соотношений n и k:

1) n < k - данных недостаточно. Необходимо провести больше измерений или упростить модель - уменьшить число параметров.

2) n = k - у системы единственное точное решение. Однако в этом случае нельзя оценить погрешность измерения

3) n > k - система уравнений несовместна и не имеет точного решения. Существует бесконечное множество приближенных решений, возникает задача аппроксимации.

На практике наиболее распространен 3-й случай. Рассмотрим его более подробно на примере линейного регрессионного анализа (т.е. градуировочная зависимость имеет линейный вид y = ax + b, определяется двумя параметрами a и b, k = 2).

Необходимо найти a и b такие, чтобы погрешность была минимальной.

Один из наиболее распространенных методов нахождения параметров линейной зависимости - метод наименьших квадратов, МНК

Предпосылки МНК:
1) Погрешность аргумента (x) пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью y
2) Погрешность y постоянна (не зависит от x) - постулат равноточности (в условиях реального эксперимента погрешность обычно растет с ростом y)
3) Данные подчиняются нормальному закону распределения
4) Данные независимы, коэффициент корреляции r(y_i,y_j) = 0
5) Отклонение градуировочной функции от экспериментальных данных минимально. В рамках метода наименьших квадратов минимизируется величина , где Y_i - величина аналитического сигнала, рассчитанная по уравнению Y = ax + b, y_i - экспериментальная величина аналитического сигнала

С учетом всех предпосылок получаются следующие выражения для a и b:

Атомные спектры. Эмиссионные спектры и спектры поглощения.

Спектры испускания и поглощения связаны между собой расстоянием между разрешенными уровнями энергии в веществе (или напр. в полупроводнике шириной запрещенной зоны). Только в первом случае электрон перескакивает сверху вниз, а в другом наоборот.
Для их наблюдения нужен прибор (напр. спектрометр), регистрирующий излучение в соответствующем диапазоне частот.

Каждый атом, молекула имеет свою структуру энергетических уровней... Если молекула поглотит излучение, квант которого равен разнице энергий соседних уровней, то частица перейдет на более высокий возбужденный уровень... долго на этом уровне не будет находиться, время жизни в возбужденном состоянии 10 в-7 сек, опять вернется на основной уровень, но запасенную энергию отдаст в виде излучения... Это резонансный переход, частоты поглощенного и испущеного кванта будут равны.... Вещество можно нагреть, свечение дугового разряда - эмиссионный спектр атомов и инов металла... Кинь щепотку соли в огонь - будет желтое свечение - атомый переход - две линии натрия... Приборы разные -спектрофотометр - мерим спект поглощения, спектрограф - спектр излучения записываем на фотопластинку, ныне используются матрицы. Главное - спектры излучения и поглощения вещества отпределяются строением энергетических уровней атомов или молекул.... Приборы - спектральные, конструкций много...

13. Пламя как источник атомизации и возбуждения.Пламенная фотометрия и области ее применения
Возможные области применения пламенного фотометра:

• Пищевая промышленность
• Медицина и фармацевтика
• Производство химикатов
• Нефтяная промышленность
• Анализ почвы и воды
• Производство удобрений

Пламенные фотометры предназначены для выполнения массовых анализов по определению содержания натрия, калия, лития, кальция, бария, цезия, рубидия и стронция в жидких средах

Принцип действия:

Основан на свойстве щелочных и щелочноземельных металлов диссоциировать на атомы при высокой температуре. Часть атомов металлов при этом переходит на более высокие возбужденные энергетические уровни. Обратные переходы на основной уровень сопровождаются излучением характерных для данного элемента атомных линий в видимой области спектра.

В определенном диапазоне концентрации интенсивность излучения пропорциональна числу атомов, переходящих на основной уровень. В свою очередь, число возбужденных атомов пропорционально массе вещества, введенного в пламя, т. е. интенсивность излучения пропорциональна содержанию определяемого элемента в пробе.

Характеристические линии излучения выделяются светофильтрами, после чего свет поступает на детектор. Детектор преобразует видимое излучение в электрический сигнал, который усиливается электронной схемой и выводится на аналоговый выход, а также преобразуется и в цифровом виде выводится непосредственно на дисплей прибора.

14. Атомно-абсорбционная спектрометрия и область ее применения.

Атомно-абсорбционная спектрометрия – метод количественного элементного анализа по атомным спектрам поглощения (абсорбции). Через слой атомных паров пробы, получаемых с помощью атомизатора, пропускают излучение в диапазоне 190-850 нм. В результате поглощения квантов света атомы переходят в возбужденные энергетические состояния. Этим переходам в атомных спектрах соответствуют так называемые резонансные линии, характерные для данного элемента. Согласно закону Бугера-Ламберта-Бера, мерой концентрации элемента служит оптическая плотность A = lg(I₀/I), где I₀ и I-интенсивности излучения от источника соответственно до и после прохождения через поглощающий слой.

Атомно-абсорбционный спектрометр - прецизионное устройство, обеспечивающее воспроизводимость условий измерений, автоматическое введение проб и регистрацию результатов измерения.

Области применения:

· клинические анализы: анализ металлов в биологических жидкостях, таких как кровь и моча,

· экологический анализ: контроль окружающей среды,

· контроль лекарственных препаратов,

· промышленность,

· горное дело.

Дата добавления: 2014-11-06