Есеп мысалдары. 1. Қозғалмайтын қабырғаға серпімді соғылған дененің жылдамдығы тек бағыты жағынан

1. Қозғалмайтын қабырғаға серпімді соғылған дененің жылдамдығы тек бағыты жағынан өзгереді. Осы дене қозғалатын қабырғаға соғылған кездегі жылдамдығы қалай өзгереді: а) денеге қарсы u жылдамдықпен қозғалса; б) дене қозғалысының бағыты бойымен жылдамдықпен қозғалса.

2. Ауырлық өрісінде тік жоғары u жылдамдықпен қозғалған плитаға h биіктіктен дене түсіріледі. Соқтығысу абсолют серпімді болған жағдайда, дененің плитаға қатар ұрылулары арасындағы уақыт қандай?

3. Радиусы R алты тісті диск екі параллель тісті рейканың арасына орналастырылған. Рейкалар бір-біріне және жылдамдықпен қарсы қозғалады. Диск бірлік уақытта қанша айналыс жасайды?

4. жылдамдықпен қозғалған ядро екі бірдей жарықшаққа бөлінеді. Жарықшақтардың жылдамдықтары болса, бір жарықшақтың жылдамдығының векторымен жасайтын бұрышы қандай болады?

5. Жауын “тік ” жауып тұр. Тамшының жылдамдығы u. Асфальтта жылдамдықпен доп сырғанап келеді. Допқа секунд сайын таматын тамшының саны ол тыныш тұрғандағы таматын тамшы санынан қанше есе көп болады?

6. Горизонтпенбұрыш жасайтын бетте тиын жатыр. Осы тиын төмен бос түсуі үшін бет қандай ең аз үдеумен қозғалуы тиіс?

1.7 Арнаулы салыстырмалық теориясының элементтері. Эйнштейн постулаттары. Лоренц түрлендірулері

Салыстырмалылық теориясының негізін қалаушы А.Эйнштейн 1905 жылы мынадай постулаттарды ұсынды:

а) салыстымалылық принципі:

инерциялық жүйенің ішінде жасалған ешқандай тәжірибелер арқылы жүйе тыныштықта ма не бірқалыпты түзу сызықты козғалыста ма, оны анықтауға болмайды.

б) жарык. жылдамдығының инварианттығы:

вакуумдағы жарық жылдамдығы барлық инерциялық жүйелерде бірдей болады.

Екі инерциялык. жүйе алайық. Қозғалмайтын координат жүйесі , жылжымалы координат жүйесі деп қарастырайық.

жүйесінің жылдамдығы өсінің бойыменбойымен бағытталсын.

Алғашқы , уақытта координата бастары жөне беттескен болсын. Бұл уақытта

(1.7.1)

жүйесінің координата басы нүктесінің жүйесіндегі координатасы

(1.7.2)

І.7.1-сурет

ал жүйесіндегі нүктесінің координатасы

немесе

(1.7.3)

(1.7.2) және (1.7.3) тендеулерін салыстырып

(1.7.4)

деп жазайық.

жүйесінде 0 нүктесінің координатасы

(1.7.5)

Ал жүйесінде уакытта

немесе

(1.7.6)

(1.7.5) және (1.7.6) тендеулерінен

(1.7.7)

болады.

- ні анықтайық. Жарық жылдамдығы С екі жүйеде де бірдей.

(1.7.8)

(1.7.4) және (1.7.7) тендеулерінің оң жағын оң жағына, сол жағын сол жағына көбейтіп жіберген жағдайда

(1.7.8) теңдеулерін ескергенде

екендігін шығады.. Бүдан

(1.7.9) (1.7.9) формуланы (1.7.4) формулаға койғанда

(1.7.10)

шығады.

(1.7.9) формуланы (1.7.7) формулаға қойғанда

(1.7.11)

шығады.

Бүл формуланы мына түрде жазайық:

(1.7.10) формуланы пайдаланып келесі түрде жазамыз:

Бұдан

(1.7.12)

табамыз, мүндағы

.

Дәл осылай

(1.7.13)

табамыз.

(1.7.1), (1.7.11) және (1.7.13) формулаларын біріктіріп

(1.7.14)

қозғалмайтын жүйесіндегі координаталар мен уакытты жылжымалы жүйесіндегі координаталар және уакыт арқылы өрнектейміз.

(1.7.1), (1.7.10) және (1.7.12) формулаларды біріктіріп

(1.7.15)

жылжымалы жүйесіндегі координаталар мен уақытты қозғалмайтын жүйесіндегі координаталар мен уақыт арқылы өрнектейміз. (1.7.14), (1.7.15) формулалары Лоренц түрлендірулері делінеді.

Лоренц түрлендірулерінен шығатын салдарлар:

а) әртүрлі санак жүйесіндегі оқиғаның бірмезгілділігі:

санак жүйесінің координаталары x₁ және x₂ нүктелерінде бірмезгілде екі оқиға өтсін. санақ жүйесінде бұл оқиғаларға сәйкес келетін уакыттар:

(1.7.16)

(1.7.17)

Бүл формулалар бойынша болса, онда жүйесінде болады, яғни санақ жүйесінің әртүрлі нүктелерінде бірмезгілде өтетін оқиға санақ жүйесінде бірмезгілде болмайды.

б) әртүрлі санақ жүйесіндегі оқиға ұзақтығы.

Қозғалмайтын санақ жүйесінің А нүктесінде бір оқиға өтсін. А нүктесінің координатасын х = const, оқиға өтетін уақыт аралығын ф деп

(1.7.18)

белгілейік. t₁ - оқиғаның басталу уақыты, t₂ - окиғаның аяқталу уақыты.

Жылжымалы санақ жүйесіндегі сәйкес окиға ұзақтығы

(І.7.І9)

болсын.

жөне жылжымалысанақ жүйесіндегі оқиғаның сәйкес басталу және аяқталу уақыттары.

(1.7.16) және (1.7.17) формулаларын (1.7.19) формулаға екендігін ескеріп қойғанда:

(1.7.20)

болып шығады.

(1.7.20) формуласы бойынша , өйткені

және ;

Санақ жүйесіне қатысты козғалмайтын нүктедегі оқиға ұзақтығы аз болады.

Енді оқиға санақ жүйесінде нүктесінде өтсін. Бұл санақ жүйесіндегі оқиға ұзақтығы

болсын.

Осы окиғаның жүйесіндегі ұзақтығын аныктайық:

(1.7.21)

(1.7.21) формуласы бойынша , яғни тағы да санақ жүйесіне катысты козғалмайтын нүктедегі окиға ұзактығы аз болады.

б) денелердің әртүрлі санақ жүйесінде ұзындығы:

Қозғалмайтын санақ жүйесінде ұзындығы стержень алайык.

Осы стерженнің санақ жүйесіндегі уақыттағы үзындығын анықтайық.

(1.7.14) формуласын пайдаланып

(1.7.22)

болатындығын көреміз. (1.7.22) формуласы бойынша .

Стержень өзімен салыстырғанда тыныштықта тұрған санақ жүйесінде ұзынырақ болады.

Егер стержень санак жүйесінде болса, онда оның - санак жүйесіндегі t уақыттағы үзындығы

(1.7.23)

болады, мүндағы l' - стерженнін санак жүйесіндегі ұзындығы.

Стержень санақ жүйесімен салыстырғанда тыныштықта тұр. Ендеше , яғни өзімен салыстырғанда тыныштықта тұрған жүйеде ұзынырак болады.

в) жылдамдықтардың қосылуларының релятивистік заңы;

Қозғалмайтын жүйесіне катысты дененің козғалыс жылдамдығы болсын. санақ жүйесіндегі дененің жылдамдығы -ті аныктайық.

(1.7.24)

Лоренц түрлендірулері (1.7.15) бойынша

(1.7.25)

(1.7.26)

(1.7.25) және (1.7.26) формулаларын (1.7.24) формуласына қойсақ

(1.7.27)

болып шығады, мұндағы .

Шекті жағдайларды карастырайық.

1) егер 1 болса, онда

(1.7.28)

классикалық механикадағы жылдамдықтардың қосылуы туралы заңы шығады.

2) егер десек, онда ,

яғни Эйнштейннің 2- ші постулатының дұрыстығы көрінеді.

г) масса мен энергияның байланыс заңы.

Элементар жүмыс dА күш пен орын ауыстырудың скалярлық көбейтіндісіне тең.

(1.7.29)

болса, онда

(1.7.30)

бұл жұмыс кинетикалық энергияның өзгерісіне тең болады.

ал онда , .

Ендеше

(1.7.31)

Релятивистік механика бойынша

бұл формуланы дифференциялдайтын болсақ

(1.7.32)

деп жазамыз.

(1.7.31) және (1.7.32) формулаларды салыстыратын болсақ

Бұдан

болғанда , ендеше .

Сонымен

(1.7.33)

мұндағы - тыныштық энергиясы; - толық энергия делінеді.

Сонда, релятивистік механикада кинетикалық энергия формуласымен анықталады.

Eсеп шығару мысалдары.

1. Электронның массасы оның тыныштықтағы массасынан екі есе үлкен болу үшін жылдамдығы қандай болу керек?

2. Егер мезонның энергиясы оның тыныштықтағы энергиясынан 10 есе үлкен болса жылдамдығы қандай болады?

3. Үдеткіш ядроға 0,4с жылдамдық берді. Ядро үдеткіштен ұшып шығар кезінде үдеткішке қатысты 0,75с жылдамдықпен бөлшегін шығарады. Бөлшектің ядроға кдтысты жылдамдығын анықтау керек

4. Электронның жылдамдығы 0,6с. Импульсін табу керек.

5. Бөлшектің меншікті өмір сүру уақыты қозғалмайтын сағат бойынша өлшенген уақыттан 1%-ке айырмашылығы бар. -ны анықтаңдар.

6. Атмосфераның жоғарғы жағында пайда болатын мюондар ыдырағанға дейін жылдамдықпен қашықтықты өтеді. Анықтау керек: а) ыдырағанға дейінгі меншікті жол ұзындығын; б) Жердегі бақылаушы үшін мюонның өмір сүру уақытын; в) мюонның меншікті өмір сүру уақытын.

7. Дененің сызықтық өлшемдерінің релятивистік қысқарулары 10% болатын салыстырмалы қозғалысын анықтау керек.

8. Үдеткіштен 0,8с жылдамдықпен шыққан иондалған атом өз қозғалыс бағытында фотон шығарды. Фотоннның үдеткішке қатысты жылдамдығын анықтау керек.

9. Екі құбылыс арасындағы интервалдың инвариатты екендігін, яғни барлық инерциалды санақ жүйесінде бірдей шамаға ие екендігін дәлелдеу керек.

10. Бөлшектің релятивистік импульсі оның ньютондық импульсінен 3 есе үлкен болатын жылдамдығын анықтаңдар.

11. Бөлшек 0,8с жылдамдықпен қозғалады. Релятивистік бөлшектің толық энергиясының тыныштқ энергиясына қатынасын анықтау керек.

1.8 Сүйықтар мен газдар механикасы.

1.8.1 Үзіліссіздік заңы. Бернулли теңдеуі

Гидродинамика сұйықтардың қозғалысын зерттейді. Қозғалыс кезінде сүйықтар сығылмайды және ішкі бөлшектердің арасында үйкеліс болмайды деп қарастыруға болады. Мүндай сүйықты идеал сұйық дейді.

Сұйықтар не газдар ағынында бағыты ағыс жылдамдығының бағытымен бағыттас болатын сызықтар жүргізуге болады. Мүны ағын сызықтары деп, ал сұйықтың ағын сызықтарымен шектелген бөлігін ағын түтігі дейді.

Ағысты сипаттайтын барлық шамалар, яғни ағыс жылдамдығы, сұйық тығыздығы және ағынның берілген нүктелеріндегі температуралары өзгермейтін болса, ондай ағысты стационарлық ағыс деп атайды.

Стационарлық ағыс кезінде ағын түтігінің кез-келген қимасынан бір өлшем уақыт ішінде ағып өтетін сұйык мөлшері бірдей болады.

S=сопst (1.8.1.1)

мүндағы - сұйык тығыздығы, - ағыс жылдамдығы, S - ағын түтігінің көлденең қимасы. (1.8.1.1) формуласы ағынның үзіліссіздік заңы делінеді.

Бернулли теңдеуін қарастырайық. Ол үшін идеал сұйық ішінен көлденең қималары S₁ және S₂ -мен шектелген ағын түтігін бөліп алайық. Сұйық S₁, -ден S₂ - ге қарай қозғалсын.

1.8.1.1- сурет.

S₁ көлденең қимадағы жылдамдық , қысымы Р₁, биіктігі , ал S ₂ көлденең қимадағы жылдамдық ₂ кысымы Р₂, биіктігі болсын. dt э лементар уақыт ішінде сүйық массасы S₁ және S ₂ қималарынан және қималарына орын ауыстырады.

Энергияның сақталу заңы бойынша толык энергияның өзгерісі Е_г – Е₁ сыртқы күштердің массасы т сұйықты қозғайтын жүмысына тең болады.

Е₂ - Е₁=А (1.8.1.2)

мұндағы және сүйықтың сәйкес S₁, S₂ көлденең қималары тұсындағы толық энергиялары.

( І.8.1.3)

(І.8.1.4)

Сондай -ақ S ₁ және S ₂ қималарымен шектелген массасы т сүйық dt уақыт ішінде тасымалданғанда жүмыс істелінеді..

Массасы сұйық S ₁ қимадан қимаға тасымалданғанда қашықтыққа, ал S -ден тасымалданғанда қашықтықкқа жылжиды.

Сол кезде істелген жұмыс

Екінші жағынан A=A₁+A₂, ендеше

(1.8.1.5)

(1.8.1.3), (1.8.1.4) және (1.8.1.5) формулаларын (1.8.1.2) формулаға қойсақ

шығады. болатындығын ескере отырып, тендеудің екі жағын V көлемге бөлейік, сонда

(1.8.1.6)

(1.8.1.6) формуласы Бернулли теңдеуі делінеді. Бұл формуладағы - динамикалық қысым, gh - гидростатикапық қысым, - статикалық кысым делінеді.

Егер түтік горизонталь орналасса болады да, (1.8.1.6) формуланы төмендегідей жаза аламыз:

(1.8.1.7)

(1.8.1.1), (1.8.1.7) теңдеулері бойынша түтіктің кең жерінде статикалық қысым жіңішке жеріндегі қысымнан үлкен болады, ал жылдамдығы жіңішке жеріндегі жылдамдығынан аз болады.

Бұны төмендегідей тәжірибеден де бақылауға да болады.Қимасы әртүрлі түтіктің әр жеріне қысымды өлшеу үшін манометрлер қойылсын (І.8.1.2-сурет).

1.8.1.2-сурет

Сонда түтіктің жіңішке жеріндегі В манометрдің көрсетуі кең жерлеріндегі А және С манометрдің көрсетулерінен төмен болатындығын көрінуге болады..

1.8.2 Ішкі үйкеліс. Сүйықтардың ламинарлык жөне турбуленттік

ағыстары

Сұйықтың қозғалысы кезінде оның қатар жатқан қабаттарының арасында ілінісулер пайда болады. Сұйықтың жылдам қозғалатын қабаттары баяу қозғалатын қабаттарын үдетеді де, керісінше баяу қозғалатын кабаттары жылдамырақ қозғалатын қабаттарын тежейді. Бүл күштерді ішкі үйкеліс күштері деп атайды (І.8.2.1 -сурет).

(1.8.2.1) мұндағы - үйкеліс коэффициенті, -жылдамдық градиенті, ол бір қабаттан екінші қабатқа өткенде жылдамдык өзгерісінің шапшаңдығын көрсетеді, - беттесетін қабаттар ауданы.

Сүйық кабаттарының бір-бірімен қабаттасып ағуын ламинарлық ағыс деп атайды.

1.8.2.1-сурет

Сұйықтың турбуленттік ағысында жылдамдығының бағыты өзгеріп отыратын кұйынды қозғалыс болады. Сұйықтардың қозғалыс режимі Рейнольдс саны арқылы анықталады.

(1.8.2.2) мұнда - ағыс жылдамдығы, d-труба диаметрі, - кинематикалык жүғу коэффициенті.

Сұйықтың ағысы Рейнольдс саны 2300 -ге дейін болса ламинарлық, 2300- ден жоғары болса турбуленттік делінеді.

Ламинарлық ағыста жылдамдық профилі парабола (І.8.2.2а-сурет), ал турбуленттік ағыста киылған парабола болады (І.8.2.2б-сурет)

а) ламинарлы ағыс б) турбуленттік ағыс

1.8.2.2- сурет

Жүғатын сұйықтың стационарлық қозғалысын қарастырайық.

Ол үшін үзындығы радиусы болатын цилиндрлік көлемді сұйық ағынынан бөліп алайық (1.8.2.3 - сурет).

Қысым күші

теңдікпен есептеледі, ал бүйір бетіне әсер етуші үйкеліс күші

болады.

1.8.2.3- сурет

Стационарлық шарты бойынша бүл күштер өзара тең болады.

бұдан

Бүл формуладан жылдамдық профилі парабола екендігін көруге болады. Сұйықтың секундтық шығынын төменгі формуламен анықтайды:

(1.8.2.3) (1.8.2.3) өрнегі Пуазейли формуласы делінеді. Бүл формула арқылы жұғу коэффициентін анықтауға болады.

1.8.3 Сұйықтардағы және газдардағы денелердің қозғалысы.

Көтеруші күш

Сұйықтар мен газдардың ішінде қозғалған денелерге екі күш әсер етеді. Біреуі дене қозғалысына қарсы бағытталған маңдайлык кедергі күші, екіншісі- қозғалысқа перпендикуляр болатын көтеруші күш.

Мандайлық кедергі күші дененің геометриялык мөлшеріне, формасына, жылдамдығы мен сұйыктардың физикалық қасиеттеріне байланысты болады.

Дене жұқпайтын идеал сұйық ішінде қозғалса маңдайлық кедергі күші болмайды.

Дене жүғатын сүйық ішінде қозғалғанда дене бетінің маңында шекаралық қабат пайда болады. Бұл қабаттың жылдамдығы өте аз. Дене аққыш формалы болмаса шекаралық қабат дене бетінен үзіліп шығып дене артында ағысқа қарсы болатын ағыс тудырады да құйын пайда болады.

Маңдайлық кедергі күші

(1.8.3.1)

мұнда С_х - мандайлық кедергі коэффициенті; - ортаның тығыздығы; - дененің жылдамдығы; S- маңдайлық қимасының ауданы.

С_х - мандайлық кедергі коэффициенті төжірибе аркылы анықталады. Көтеруші күш

(1.8.3.2)

мұнда С_y - көтеруші күш коэффициенті.

Самолет қанатын каптай аққан ауадан пайда болатын көтеруші күштің туу себебін қарастырайық.. (1.8.3.1) - суретте қанаттың көлденең қимасы көрсетілген.

І.8.3.1- сурет

Қанаттың үстіңгі бөлігін каптай аққан ауа ағыны оның ұшында сағат тіліне карсы бағытталған құйын (А) тудырады. Импульс моментінің сақталу заңы бойынша қарсы бағыттағы циркуляция (В) қанатты қоршай ағады. Осы циркуляция канаттың үстіндегі ауа ағынының жылдамдығын азайтады. Ендеше Бернулли заңы бойынша қанаттың астындағы қысым, қанаттың үстіндегі қысымнан үлкен болады. Осы қысымдар айырмасы көтеруші күшті тудырады.

Жылдамдықтар айырмасынан туатын қысымды байқау үшін Жуковский тәжірибесін көрсетуге болады. Жеңіл цилиндрді (қағаздан жасалған) көлбеу жазыктықтан домалатып жіберейік (1.8.3.2- сурет). Сонда цилиндр суретте көрсетілген үзік сызықтың бойымен түспейді, көлбеу жазықтықтың астына қарай түседі.

1.8.3.2-сурет

Өйткені дөңгелеген цилиндрді ауа қаптай аққанда оның үстіңгі жағындағы сызықтың жылдамдығы мен ауа ағынының жылдамдығы косылады,

ал астыңғы жағында бүл жылдамдықтар бірінен-бірі алынады. (1.8.3.3- сурет).

1.8.3.3- сурет

Бернулли заңы бойынша жылдамдықтар айырмасы қысымдар айырмасын тудырады. Бүл жағдай Магнус эффектісі делінеді. Осы эффект бойынша цилиндр (1.8.3.2)- суретте көрсетілгендей көлбеу жазықтықтың астына қарай түседі.

Дата добавления: 2014-10-15