Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления




По элементам строки или столбца

Теорема Лапласа о разложении определителя

Свойства определителей

Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно больше элементов равно нулю.

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0,

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число l, то ее определитель умножится на это число l.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т.е. ½ А '½=½ A ½.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b 1, b 2,..., bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b 1, b 2,..., bn.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного размера равен произведению их определителей, т.е. ½ С ½=½ A ½×½ B ½, где C = A × B.

Определение 1. Минором Mij элемента aij матрицы n -го порядка A называется определитель матрицы (n -1)-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Определение 2. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n -го порядка A называется его минор Mij, взятый со знаком (-1) i+j, т.е. Aij =(-1) i+j × Mij.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

½ A ½= a i1× A i1+ a i2× A i2+...+ a in× A in (разложение по элементам i -ой строки);

½ A ½= a 1j× A 1j+ a 2j× A 2j+...+ a nj× A nj (разложение по элементам j -го столбца).

Определение 1. Квадратная матрица A называется особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю, т.е. ½ A ½=0.

Определение 2. Квадратная матрица A называется неособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля, т.е. ½ A ½¹0.

Определение 3. Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице n -го порядка A, если A × А -1А -1× A = E, где E - единичная матрица n -го порядка.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А-1 существует (и единственна), тогда и только тогда, когда матрица A неособенная.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 3585; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.