Линейного пространства по векторам базиса

Теорема о существовании и единственности разложения вектора

Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис.

Определение 1. Векторным (линейным) пространством называется множество n - мерных векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам (аксиомам).

Определение 2. Линейное пространство называется n - мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми

Определение 3. Совокупность n линейно независимых векторов n -мерного пространства называется базисом.

Теорема 1. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса

x = x ₁ e ₁+ x ₂ e ₂+... + x _n e _n.

Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации векторов базиса этого пространства называется разложением данного вектора по базису.

17. Скалярное произведение векторов в n -мерном пространстве.

Евклидово пространство. Длина (норма) вектора

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов x = (x ₁, x ₂, … x _n) и y = (y ₁, y ₂, … y _n) n -мерного пространства называется число

(x, y) = x ₁× y ₁ + x ₂× y ₂ + … + x _n× y _n.

Определение 2. Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным условиям (аксиомам).

Определение 3. Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата

.

Дата добавления: 2014-11-06