Состоящем из его собственных векторов

Матрица линейного оператора в базисе,

И его характеристическое уравнение

Собственные векторы и собственные значения матрицы.

Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы А). Характеристический многочлен оператора

Определение 1. n -мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором линейного оператора A, если существует такое число l, что A (x) = l× x. Число l называется собственным значением оператора A, соответствующим вектору x.

Можно доказать, что ненулевое решение уравнения A× X = l× X существует тогда и только тогда, когда определитель ç A - l×E ç=0, где E - единичная матрица n –го порядка.

Определение 2. Определитель ç A - l×E ç является многочленом n –ой степени относительно переменной l и называется характеристическим многочленом линейного оператора A.

Определение 3. Характеристическим уравнением линейного оператора A называется уравнение ç A - l×E ç=0.

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора A не зависит от выбора базиса линейного пространства.

Матрица A линейного оператора A пространства R ⁿ в себя принимает наиболее простой вид, если базис пространства состоит из собственных векторов оператора A.

Можно доказать, что в этом случае матрица A линейного оператора является диагональной и имеет вид:

.

Верно и обратное: если матрица A линейного оператора A в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора A.

Тема 5: Квадратичные формы

Дата добавления: 2014-11-06