Заміна змінної у визначеному інтегралі

Основні правила інтегрування.

Теорема 5: Нехай задано інтеграл , де неперервна на відрізку . Зробимо підстановку , де , де неперервно диференційована функція на відрізку .

Якщо:

1) При зміні від до змінна змінюється від до , тобто ;

2) Складна функція визначена і неперервна на відрізку , тоді має місце рівність .

Ця формула називається формулою заміни змінної або підстановки у визначеному інтегралі.

Помічаємо, що при обчисленні визначеного інтеграла за допомогою заміни змінної немає потреби повертатися до попередньої змінної, так як це робилось при обчисленні невизначеного інтеграла, тому що визначений інтеграл представляє собою число, яке відповідно попередній формулі дорівнює значенню кожного з розглядуваних інтегралів. Тепер при підстановці зразу потрібно знайти нові границі інтегрування і потім виконати необхідні перетворення підінтегральної функції.

Помічаємо також, що при заміні змінної у визначеному інтегралі необхідно врахувати умови теореми 5, інакше можна одержати неправильний результат (особливу увагу потрібно звертати на виконання умов 1 і 2).

Обчислити визначені інтеграли методом підстановки:

Приклад 1: .

Розв’язування: Виконаємо підстановку . Тоді , то то . Оскільки функція - неперервна на , то і нова функція також неперервна, значить всилу теореми 5 існує первісна на цьому відрізку. Одержимо .

Приклад 2:

;

Дата добавления: 2014-11-06