Полный дифференциал функции

Пусть дана функция n -переменных:

Z = f (x, y, …, t)

В этом случае вводится понятие частной производной:

Частной производной функции Z=f (x, y) по аргументу х называется предел отношения приращения функции, когда изменяется х, к приращению аргумента х, когда приращение аргумента стремится к нулю ( х → 0)

Соответственно частная производная по y обозначается .

Если частную производную от функции Z = f(x, y) по х умножить на ее дифференциал dx, то получим частный дифференциал по аргументу х:

Частный дифференциал по у будет равен:

Сумма частных дифференциалов определяет полный дифференциал функции

Полный дифференциал для функции двух переменных Z = f(x, y) равен:

10. ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ В ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

При достаточно малых |Dx| выполняется условие: Dy» dy.

Учитывая, что Dy = f(x₀+Dx)-f(x₀),

dy =f¢ (x₀)Dx, получаем

f(x₀+Dx)-f(x₀)» f¢ (x₀)Dx, откуда

f(x₀+Dx)» f(x₀)+f¢(x₀) Dx (*)

Например: Вычислить приближённо .

Решение:, тогда x₀ =25, Dx=2. Применяя формулу (*), получаем:

Дата добавления: 2014-10-15