КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные уравнения порядка выше первого
Пусть n > 1. Как мы знаем, дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид (1)
Если уравнение (1) имеет вид (1'), то уравнение - го порядка (1') называется разрешенным относительно -ой производной. Функция в правой части уравнения (1') есть функция переменного. Общее решение уравнения (1') имеет вид , где – постоянные. Общим интегралом уравнения (1) или (1') называется соотношение , задающее неявно решение уравнений (1) или (1'), соответственно. Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (1'), рассматриваемая как функция переменного , непрерывна, и имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные . Тогда на некотором интервале , содержащем точку , найдется раз непрерывно дифференцируемое решение уравнения (1'), удовлетворяющее условиям . (2) При этом решение дифференциального уравнения (1'), удовлетворяющее условиям (2), единственно. Условия (2) называются начальными. Задача отыскания решения дифференциального уравнения (1'), удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Кoши. 9) Понижение порядка уравнения. В процессе интегрирования уравнения - го порядка иногда удается получить уравнение более низкого порядка, эквивалентное исходному уравнению -го порядка в том смысле, что оба уравнения имеют одни и те же решения. Такие уравнения более низкого порядка называются промежуточными интегралами. Промежуточный интеграл порядка так же называют первым интегралом. Пример 1. Дифференциальное уравнение второго порядка может быть записано как . Поэтому оно имеет первый интеграл . Рассмотрим простейшие случаи, когда возможно понижение порядка дифференциального уравнения и, тем самым, сведение более сложной задачи к более простой.
I. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка k-1 включительно, т.е. имеет вид следующий вид: . В этом случае порядок уравнения может быть понижен до подстановкой , так как в результате такой подстановки уравнение приобретает вид . В частности, если уравнение второго порядка не содержит , т.е. имеет вид , то подстановка приводит к уравнению первого порядка . Пример 1. Решить уравнение . Решение. Полагая , получаем , или , откуда p=C1x, т.е. . Интегрируя последовательно три раза, получаем:
, , .
Ответ: II. Уравнение не содержит независимого переменного , т.е. имеет вид . (1) В этом случае порядок дифференциального уравнения можно понизить на 1, рассматривая как независимое переменное, как неизвестную функцию переменного и составляя дифференциальное уравнение для . Например, пусть нам дано дифференциальное уравнение (2) Имеем , , откуда из (2) получаем дифференциальное уравнение для функции переменного : Если (1) есть уравнение третьего порядка (3) то, поскольку из (3) получаем дифференциальное уравнение для функции переменного Пример 2. Решить уравнение Решение. Непосредственно убеждаемся, что y=C есть решение. Далее считаем, что y не есть постоянная функция, и тем самым . Имеем или . Так как , то , или . Отсюда или . Разделяя переменные, получаем . Следовательно, , или , . Так как есть решение исходного уравнения, и y=C можно получить как , то общее решение дифференциального уравнения (4) есть III. Левая часть уравнения является производной некоторой функции . В этом случае порядок уравнения снижается на единицу, т.к. уравнение можно переписать в виде , откуда . Пример3. Решить уравнение Решение. , поэтому . Это уравнение является линейным уравнением первого порядка. Находим его решение по методу Бернулли: , , . Интеграл от функции не выражается в элементарных функциях, поэтому пишем
, .
Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 344; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |