Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения 1-го порядка имеют вид

=0 или

Если уравнение (1) удастся разрешить относительно , то мы получим

- уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Будем считать, что функция задана на некотором открытом множестве .

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

такая, что:

1) она удовлетворяет уравнению (2) при значениях постоянной , принадлежащих некоторому определенному множеству; (это множество определяется уравнением (2)).

2) какова бы ни была точка , найдется такое значение постоянной , что функция будет удовлетворять условию .

Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Имеет место следующая теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (2).

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на открытом множестве , . Тогда через точку проходит по крайне мере одна интегральная кривая. Если функция имеет на непрерывную частную производную по переменной , то существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию .

Условие называют начальным условием. Задачу отыскания решения уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию , называют задачей Коши.

Единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если и есть два решения задачи Коши, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию , заданные соответственно на интервалах и , то на пересечении этих интервалов.

Уравнение (2) в каждой точке определяет , то есть угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Поэтому задача интегрирования дифференциального уравнения (2) геометрически может быть истолкована следующим образом: от каждой точки отложим вектор, образующий с осью угол ; получим некоторое поле направлений; требуется провести кривые так, чтобы расставленные стрелки показывали в каждой точке направление касательной.

Изоклиной дифференциального уравнения (2) называется геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одно и то же направление.

Семейство изоклин определяется уравнением где – параметр. Строя достаточно густую сеть изоклин, т.е. давая близкие числовые значения, мы можем достаточно точно построить интегральную кривую

дифференциального уравнения (2).

Не существует общего метода решения дифференциального уравнения первого порядка. Далее мы выделим некоторые типы дифференциальных уравнений, для которых можно дать метод решения.

4) Уравнения с раздельными и разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение вида

(2)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на , оно приводится к дифференциальному уравнению

,

которое имеет вид (1).

Будем считать в (1) и – непрерывными функциями, а функцией независимого переменного . Выражение слева есть дифференциал некоторой функции , зависящей от , а выражение справа – дифференциал некоторой функции , зависящей от Решениями дифференциального равнения (1) будут те и только те дифференцируемые функции , которые при некоторой постоянной удовлетворяют уравнению . При этом следует помнить, что если , то по теореме о неявной функции функция , определяемая неявно уравнением , где – произвольная постоянная, будет дифференцируемой.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Разделим в (2) переменные и придем к уравнению

Решением дифференциального равнения (2) будет функция такая, что , где – произвольная постоянная. Отсюда .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Очевидно, функция есть решение уравнения (3). Пусть теперь y>0. Разделим в (3) переменные и придем к уравнению

Проинтегрировав (), получим где – произвольная постоянная. Отсюда следует, что , . Таким образом, при каждом фиксированном значении функция , является решением уравнения (3). Других решений это уравнение в полуплоскости не имеет.

Пример 3. Проинтегрировать уравнение

(4)

Решение. В этом уравнении переменная не может принимать значение 0. Поэтому возможно деление на . Разделив в (4) переменные, получим

. ()

Проинтегрировав (), имеем , или . Постоянную запишем в виде .Тогда . Введем постоянную . Тогда общий интеграл уравнения (4) есть

.

В общем интеграле дифференциального уравнения первого порядка одна произвольная постоянная, которую принято обозначать как . По этой причине принято при переходе от одной произвольной постоянной к другой, например, от к от к , индексы не записывать. Следовательно, общий интеграл уравнения (4) имеет вид

(С> 0).

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

(5)

Решение. Мы ищем решение дифференциального уравнения (5) в окрестности точки , удовлетворяющее условию . Дифференцируемая функция

непрерывна. Поэтому окрестность точки будем считать столь малой, что

(6)

для любого из этой окрестности. Тогда . Разделив на , получим , откуда

Следовательно, с учетом (6), общий интеграл данного уравнения есть

(С>0).

Найдем значение параметра , которому соответствует кривая, удовлетворяющая начальному условию , то есть проходящая через точку (1,2) :

Таким образом, решением будет такое, что .

Пример 6. Проинтегрировать уравнение

Решение.

Разделив на , получим

откуда

, или .

Дифференциальное уравнение

приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой . Действительно, . Следовательно

, или откуда .

Дифференциальное уравнение

приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если . Действительно, в этом случае при некотором . Следовательно, дифференциальное уравнение может быть записано в виде

,

и по предыдущему подстановкой оно может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными.

Дата добавления: 2014-11-06