Экспоненциальная АФ с сопротивлением. «Программа аппроксимации ВАХ диода АФ i = io{exp[a (v – ir)] – 1}» приведена на следующей странице в Пр.1.2

«Программа аппроксимации ВАХ диода АФ i = io{exp[a (v – ir)] – 1}» приведена на следующей странице в Пр.1.2. В отличие от АФ (1.19) здесь АП обозначены: (аr) = а, (ir0) = i₀, чтобы их отличать от близких по смыслу от АП других АФ. Описание ввода данных и вводимые данные аналогичны и приводятся в разделе 1.2.1. Так же как и там здесь вначале выбирается АП (аr) = 34,5 1/В по минимуму расхождения между данными тока i^T, заданными скопированной однострочной таблицы i.

Пр. 1.2

Далее рассчитывается АП r 1 вначале как приближенное значение r, определяемая отношением разности приращений ВАХ диода по напряжению sv =0,05В к разности токов диода для максимального значения при N -1 и предшествующего N -2. Полученное решение является приближенным и не учитывает влияние изменения напряжения на р-n переходе диода. Для этого предлагается ввести коррекцию rk < 0.1 r1, вычитая его из r1: r = r1 – rk.

Полученные два АП позволяют рассчитать третий АП (i 0 r) по совпадению ВАХ и АФ для точки N -1. Полученная АФ рассчитывается по (1.20) для 10000 точек с шагом 0.002 мА до максимального значения 19.8 мА, приведенного в программе. Кривые ВАХ i^T приведены на рис. 1.6 для больших токов и на рис. 1.7 для малых токов, как функции напряжений v, кривые АФ напряжений (vr), как функции токов (ir). После нескольких коррекций двух АП получается практическое совпадение кривых ВАХ и АФ. При этом АП (аr) влияет на сходимость кривых для малых токов диода, АП r на сходимость кривых при больших токах диода. В отличие от предыдущей АФ (1.21) изменений АП не требуется при изменениях интервала Ар, т.к. кривые практически сливаются, а разработка новой модернизированной программы расчета сходимости для обратных функций внесет усложнения самой программы.

Для расчета АТКЧ необходимо располагать производными ВАХ диода р - порядка по напряжению. «Программа расчета производных по напряжению при использовании аппроксимации i = io{exp[a (v – ir)] -1}» приведена в Приложении 1.1 вплоть до производных 5 порядка. В эту программу вводятся АП: (аr), (ir0) и r, полученные в предыдущей программе.

Последовательно дифференцируя обратную функцию (1.20), получим:

(1.26)

(1.27)

где аналогично пояснениям к (1.25) здесь и далее служит для обозначений производных напряжений по току р - порядка. Производные вплоть до 3 порядка приведены в Приложении 1.1 и используются для вычисления производных тока по напряжению тоже до 3 порядка. Формулы связи функций производных с обратными функциями взяты из [8]. Графики расчета производных по этим формулам приводятся на рис. П1.1.1-П1.1.3. Там же приведены графики полученные с использованием приближенных методов дифференцирования (ПМД), например, для четвертой производной при использовании индекса р получим

(1.28)

В (1.28) переменной последняя буква р без цифры служит для информации о том, что расчет проводился с применением ПМД только 1 раз из расчетных значений, полученных расчетными методами по формулам. В приведенной в вышеупомянутой программе цифра 2 в производной вида информирует о том, что производная была получена двойным использования ПМД, т.е. вначале была получена , соответствующая (4.28), а из нее также с помощью ПМД . Производные четвертого и пятого порядков производных АФ тока от напряжений приведены на рис. П1.1.4 и П1.1.5. Исследование тройного использования ПМД не выявило расхождения кривых на графиках между собой. В следующем разделе вышесказанной подтверждается пятикратным использованием этого метода в отличии от ПМ интегрирования (ПМИ), рассмотренного там же для инженерных расчетов при использовании Маткада.

Сравнивая производные по напряжению при использовании АФ ВАХ (1.21) и пояснения к ней в (1.25) с (1.19) и графиками производных в Приложении 1 можно сделать следующие выводы:

1. Максимальное значение производных происходит при напряжениях, соответствующих началу появления тока через диод.

2. Максимальные значения производных растут примерно в 3-4 раза медленнее, чем при использовании (1.19) для производных по напряжению первого и второго порядков. Только при переходе к производным третьего и более высоким порядкам скорость роста увеличивается примерно на порядок с увеличением порядка производной по напряжению на 1, как и при использовании экспоненциальной АФ.

3. Производные, начиная с третьего порядка, знакопеременны, что свидетельствуют о подобных изменениях АТКЧ согласно (1.15), пропаданию их при определенных напряжениях гетеродина или напряжениях смещения и появлению опять с дополнительным сдвигом по фазе на 180⁰.

4. Производные АФ практически не зависят от АП для рабочего режима при .

5. Численные расчеты графиков Приложения 1.1 показывают, что при уменьшении АП r в два раза с 22 Ом до 11 Ом при одной и той же амплитуде тока гетеродина приводят к увеличению максимумов и минимумов производных в два раза.

6. Аналогично при уменьшении АП (ar) c 34,5 В^-1 до 15 В^-1 привели к существенному уменьшению максимумов и минимумов производных, начиная со второй и далее приблизительно по закону: - порядок комбинационного преобразования согласно (1.12).

7. Колокольная форма второй производной при напряжениях близких к напряжению, соответствующему началу нарастания тока через диод, можно использовать для поиска других АФ ВАХ диодов, биполярных транзисторов и полевых транзисторов.

8. Использование ПМД позволяет довести до инженерного метода расчета ранее недоступные АФ из-за громоздкости вычислительных процедур, возможности ошибок при вычислениях и затруднениях в проверках результатов. Здесь простота алгоритма позволяет решить проблему расчета сравнительно быстро и проконтролировать его другими методами.

1.3.3. АФ по производным.

Согласно методу выбора АФ по производным необходимо подобрать функцию производной. Такой производной может быть вторая производная, показанная на рис. П.1.2.3 кривой d2it, аналогичную обозначениям в (1.25). В качестве таковой возьмем симметричную АФ

(1.29)

где ,

АП с добавлением буквы t для данного типа Ар,

Тогда АФ может быть получена вычислением интеграла

(1.30)

Интегрируя (1.29), получим

(1.31)

(1.32)

где обозначение , рекомендуемое используемым редактором формул.

«Программа аппроксимации ВАХ диодов АФ i = i₀[a v (arctg(a v) + π/2) + 1]» приводится ниже в Пр.1.3 Вводимые здесь данные аналогичны предыдущему разделу 1.3.2. Также, как и раньше при АПР берем АП (at) = 7,8 1/В по критерию минимальной относительной погрешности АФ R 1, определяемый (1.23) приводимой на рис. 1.6, на котором приводится ВАХ i ^T и АФ (1.32) (it). Рассчитывается второй АП Ecm –напряжение смещения максимума второй производной.

Пр. 1.3

Вводится дополнительный корректирующий параметр ik = 0,12мА в области малых токов диода, который вычитается из основного тока

(1.33)

В результате относительная погрешность Ар (1.33) для малых токов снижается и становится меньше почти в 1,5 раза по сравнению с погрешностью при использовании экспоненциальной АФ (1.21). Далее рассчитывается параметр ( ) и рассчитывается АФ (). Анализ результатов Ар показывает полное совпадение токов на рис. 1.8 для больших токов с погрешностью R1 = 1,3%. При уменьшении верхней границы Ар значение R 1 увеличивается также, как при использовании АФ (1.19). Как следствие это дает возможность применения (1.32) без изменения АП. Преимущество (1.33) по сравнению с (1.19) заключается в том, что для инженерных расчетов используется прямая функция i(v), а не обратная, как в (1.19). Недостаток (1.32) заключается в меньшей точности значений R1 для малых токов по сравнению с АФ (1.19). Это обусловлено симметричностью второй производной примененной АФ(1.29), показанной на рис. П1.2.3. Между тем вторая производная АФ (1.19), показанная на рис. П1.1.2, несимметрична и более быстро меняется для малых токов, что и обуславливает ее более высокую точность, но численная оценка точности обратной функции может быть предметом дальнейших исследований. Результатом работы является получение АП: (at), (it 0 ), Ecm, (ik), которые вводятся в программу Приложения 1.2. «Производные по напряжению при использовании АФ i = i₀[a v (arctg(a v) + π/2) + 1]». В этой программе в разделе классика приводятся результаты аналитического расчета тока диода и его производные токов вплоть до 5 порядка по напряжению на графиках рис. П1.2.1 – П1.2.6 в виде кривых вида dp(it), объяснение к которым приводятся в пояснениям к (1.27). Проверка результатов аналитического расчета производных проводилась ПМИ, например, для 4 производной использовалась рассчитанные данные 5 производной:

(1.34)

s = 0,02 В - шаг дискретизации напряжения.

Пояснения к последней букве p дается в пояснениях к (1.28).

В результате расчетов полученные по формулам значения производных и при однократном использовании ПМИ совпали. Следовательно, ПМИ можно использовать для расчета интеграла (1.15). Следующие расчеты пятикратного использования (1.34) из результатов четырехкратного, а тот из трехкратного рекуррентным способом и т.д.:

(1.35)

приведены начиная с рис. П1.2.5 и т.д. до П1.2.1. Результаты показывают, что до двукратного применения (1.34) кривые совпадают. Расхождение становится заметного только начиная с трехкратного применения (1.34), показанного на рис. П1.2.3. Результаты четырехкратного применении (1.34) показаны на рис. П1.2.2. При пятикратном использовании (1.34), приведенного на рис. П1.2.1 расхождение уменьшается. Для устранения этого недостатка был применен модернизированный рекуррентный ПМИ, определяемый для пятикратного способа:

(1.36)

Результаты использования (1.36) приведены начиная с рис. П1.2.7 и заканчивая рис. П1.2.10. для пятикратного использования. Результаты показывают, что различий нет. По-видимому, это объясняется тем, что при использовании (1.36) сокращается количество вычислений, т.к. не требуется многократного суммирования, как в (1.34).

Здесь требуется проведение дальнейших исследований. Надежно работает пятикратное дифференцирование с использованием ПМД и приводится на рис. П1.2.2 – П1.2.6. На последнем это демонстрируется графиком d5(itp5). Сопоставление результатов расчета производных с соответствующими производными при использовании АФ (1.19) показывает:

1.Качественные характеристики и форма производных ВАХ очень близки.

2. Расхождение максимумов второй производной составляет 20% и в дальнейшем возрастает с ростом порядка производных, что соответствует меньшей величине АП (аr).

3. Точность расчета с использованием ПМ теоретически увеличивается с ростом количества используемых интервалов N. Однако при этом возрастает объем вовлекаемой в вычисления оперативной памяти, которая используется вычислительной машиной, и увеличению времени вычислений, что может привести к прекращению расчетов и появлению шумоподобных графиков выводимых расчетных данных Эта особенность наблюдалась для вышеупомянутой программы при N=100000.

Дата добавления: 2014-11-06