Основные теоремы теории вероятностей

1. Теорема сложения вероятностей

Пусть дана полная группа событий А,В,С,D, которым соответствуют частоты (вероятности). Какова вероятность, что в результате испытания произойдет событие А или В? В этом вопросе подразумевается, что благоприятный исход испытания состоит в осуществлении события А или в осуществлении события В. Символически это можно записать Р(А или В). Очевидно, что искомая вероятность должна быть больше вероятности осуществления события А и большее вероятности осуществления события В.

Допустим, что было проведено n испытаний, в которых в m₁ случаях осуществилось событие А, а в m₂ случаях событие В. Всего благоприятных для осуществления события А или события В случаев было m₁+m_{2 ,} а частота (вероятность) осуществления события А или события В соответственно равна , то есть

Р (А или В) = ;

Полученное выражение иллюстрирует теорему сложения вероятностей: Вероятность наступления в некотором испытании какого–либо одного события (безразлично какого именно) А₁, А₂,..., А_n равна сумме вероятностей этих событий, если события несовместны:

Р(А₁ или А₂ или … А_n)=Р(А₁)+P(A₂)+…+Р(А_n);

Следствие 1: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Р(А)+Р()=1.

Задача:

Вероятность наступления хотя бы одного вызова врача в течение часа Р(А)=0,85. Найти вероятность того, что в течение часа не последует вызова (событие В).

Дано: Решение:

P(A)=0,85 Событие В является противоположным событию А.

Р(В)=? Сумма их вероятностей

Р(А) + Р(В) =1,

откуда Р(В)=1–Р(А)=1–0,85=0,15.

Следствие 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1, или

- Данное выражение называют условием нормировки.

Задача:

Медсестра обслуживает три палаты. Вероятность поступления вызова из первой палаты–0,2, из второй–0,4. Какова вероятность того, что ближайший вызов будет из третьей палаты?

Дано: Решение:

Р(А)=0,2 Согласно условию нормировки, Р(А)+Р(В)+Р(С)=1,

Р(В)=0,4 тогда Р(С)=1–Р(А)–Р(В)

P(C)-? Р(С)=1–0,2–0,4=0,4.

Дата добавления: 2014-10-15