Елементи теорії відносності

Ми з вами вже знаємо, що рух точки (або тіла) – це зміна його положення у просторі із часом. Положення рухомої точки звичайно розглядається у декартовій системі координат, і у будь-який момент воно визначається трьома просторовими координатами (x, у, z). Як годинник, для визначення масштабу часу можна використовувати будь-який періодичний процес. Сукупність декартової системи координат, пов'язаної із певними тілами відліку, та годинника для вимірювання часу, називають системою відліку. У принципі таких систем може бути безліч, проте найзручнішою для опису механічних явищ є така система відліку, у якій закони механіки мають найпростіший вигляд.

Якщо у деякій системі відліку на матеріальне тіло не діють інші тіла, то воно рухається щодо даної системи відліку рівномірно і прямолінійно (або, як то кажуть, за інерцією). Таку систему відліку називають інерціальною. Існування інерціальних систем відліку підтверджується численними дослідами. Закони Ньютона виконуються тільки в таких системах відліку. У першому наближенні система, пов'язана із поверхнею Землі, може вважатись інерціальною, проте через обертання Землі таке припущення не цілком обґрунтоване. За інерціальну систему прийнята геліоцентрична система, пов'язана із Сонцем та видаленими «нерухомими» зірками, хоча, строго кажучи, вона також не є інерціальною внаслідок руху Сонця навколо центру Галактики. Питання про те, чи є вибрана система відліку інерціальною, розв'язується на підставі експерименту: якщо в даній системі відліку закони Ньютона виконуються (в межах точності експерименту), то система може вважатись інерціальною.

Галілей встановив, що всі механічні явища у різних інерціальних системах відліку протікають однаково, тобто ніякими механічними дослідами, які проводяться «усередині» даної інерціальної системи відліку, неможливо встановити, покоїться дана система або рухається рівномірно та прямолінійно. Це твердження назване принципом відносності Галілея. Принцип є узагальненням численних дослідів. Згідно ньому, всі системи відліку, які рухаються рівномірно і прямолінійно щодо інерціальної системи, також є інерціальними. Систему відліку, рухому щодо інерціальної із прискоренням, називають неінерціальною.

У деяких випадках буває потрібно описати рух тіла у іншій системі відліку. Визначимо формули для перетворення координат тіла при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Нехай інерціальная система О¢ рухається із постійною швидкістю V ₀вздовж осі ОХ щодо нерухомої системи відліку О (рис.4.1). Для

простоти припустимо, що початки відліку і напрямки осей координат обох систем у початковий момент часу (t=t¢= 0) співпадали. Нехай матеріальна точка Р покоїться щодо системи О, а її положення в цій системі характеризується радіус-вектором r, або координатами x, у, z. Щодо системи О¢, ця точка рухається, і відносно системи О¢ її положення характеризується радіус-вектором r¢, або координатами x¢, у¢, z¢. Годинник у обох системах відліку синхронізований і час

Рис.4.1.

спливає однаково, тобто t=t¢. Очевидно, що зв'язок між радіус-векторами цієї точки у обох системах відліку має вигляд:

(4.1)

Це співвідношення можна записати у скалярному вигляді для кожної із декартових координат. З урахуванням синхронізації годинника, маємо:

(4.2)

Ці співвідношення називаються перетвореннями Галілея. Із них можна одержати закон додавання швидкостей при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Для цього продиференціюємо векторне співвідношення за часом:

або (4.3)

де V – швидкість руху точки щодо нерухомої системи О, а V^¢ - швидкість руху точки щодо рухомої системи О ¢. Це співвідношення називається законом додавання швидкостей. Диференціюючи цей закон за часом ще раз, одержимо:

(4.4)

Оскільки V ₀=const, то dV ₀ /dt= 0, тому

або (4.5)

Тобто, із перетворень Галілея випливає, що прискорення матеріальної точки у обох системах координат однакове. Помноживши обидві частини цього співвідношення на масу тіла, яка не залежить від стану його руху, а отже, у всіх інерціальних системах відліку залишається сталою, одержуємо:

або (4.6)

Це означає, що закони механіки (рівняння руху) у всіх інерціальних системах відліку мають однаковий вигляд, тобто є інваріантними по відношенню до перетворень координат Галілея. Це і служить доказом принципу відносності Галілея.

Класична механіка Галілея-Ньютона заснована на існуванні тривимірного простору та часу, єдиних для всіх інерціальних систем відліку. У ній передбачається, що просторові і часові проміжки (довжини відрізків і тривалості подій) є інваріантами, тобто мають одне і те ж значення у всіх системах відліку. При цьому дотримується принцип далекодії: взаємодії між тілами поширюються миттєво на будь-які відстані. Із цього принципу, який здавався цілком природним і підтверджувався численними дослідами, походили перетворення Галілея. Проте, у міру подальшого розвитку фізики – оптики, електродинаміки – виникло питання про справедливість принципу далекодії і при інших видах взаємодій.

Проаналізувавши теоретичний і експериментальний матеріал, накопичений до початку ХХ століття, Ейнштейн переглянув початкові положення класичної фі-зики, і понад усе, уявлення про властивості простору і часу. Він показав, що закони класичної механіки і перетворення Галілея вірні, коли тіла рухаються із малими швидкостями, тоді швидкість передачі взаємодій вважається нескінченною. Проте при рухах зі швидкостями, близькими до швидкості поширення світла у вакуумі, закони механіки повинні бути замінені на загальніші, які враховують особливості такого руху. У основі цих законів лежать нові уявлення про простір і час, а механіка високих швидкостей називається релятивістською.

Перегляд уявлень про властивості простору і часу на початку ХХ століття привів Ейнштейна до створення спеціальної теорії відносності (СТО). Термін “спеціальна” підкреслює той факт, що ця теорія розглядає явища, які відбуваються у інерціальних системах відліку. У основі теорії відносності лежить принцип близькодії: ніякі взаємодії не можуть поширюватись зі швидкостями, які перевищують швидкість поширення світла у вакуумі. Це положення Ейнштейн відобразив у вигляді двох постулатів: принципу відносності і принципу сталості швидкості світла.

Перший постулат є розширенням механічного принципу відносності Галілея на всі фізичні явища і формулюється так: в усіх інерціальних системах відліку (ІСВ) будь-які фізичні явища у однакових умовах відбуваються однаково; всі закони природи і рівняння, які описують їх, інваріантні при переході від однієї ІСВ до іншої. Із цього постулату виходить, що ніякими дослідами усередині ІСВ неможливо визначити, покоїться вона або рухається рівномірно і прямолінійно. Іншими словами, всі ІСВ за своїми фізичними властивостями еквівалентні одна одній.

Другий постулат стверджує, що швидкість поширення світла у вакуумі є величиною сталою і однакова у всіх ІСВ, не залежною від швидкостей руху джерел світла або спостерігачів. Згідно цього постулату, сталість швидкості світла – це фундаментальна властивість природи. Якщо всі інші швидкості змінюються при переході від однієї ІСВ до іншої, то швидкість світла у вакуумі – величина інваріантна (незмінна). Це означає, що у одному і тому ж експерименті два спостерігачі, які знаходяться в різних ІСВ (рухомі один щодо одного), отримують однакове значення швидкості світла у вакуумі. Ця швидкість є максимально можливою (граничною) швидкістю передачі взаємодій. Тому, якщо всі ІСВ рівноправні, то і максимальна швидкість передачі сигналів в них також повинна бути однаковою.

Отже, з точки зору класичних уявлень про простір і час, передбачалась можливість миттєвої передачі взаємодії між різними точками простору. У механіці Ньютона вважалось, що поняття одночасності має однаковий сенс для будь-яких точок простору. З точки ж зору теорії відносності, понять абсолютної одночасності і абсолютного часу не існує. Нехай у розглянутих вище двох ІСВ у початковий момент часу t=t¢= 0, коли початки відліку обох систем О і О ¢ співпадають, із цього загального початку відліку випромінюється світловий імпульс. Згідно із другим постулатом Ейнштейна, швидкість світла у обох ІСВ однакова і дорівнює с. Тому, якщо за час t в нерухомій системі О сигнал досягне деякої лежачої на осі ОХ точки А, пройшовши відстань х=с×t, то в рухомій вздовж осі ОХ зі швидкістю V ₀ системі О ¢, координата світлового імпульсу в момент досягнення точки А становить х ¢ =с×t ¢, де t ¢ - час поширення світлового імпульсу від початку координат до точки А в рухомій системі О ¢. Віднімаючи рівності одна із одної, одержуємо:

(4.7)

Оскільки х ¢ ¹х (оскільки система О ¢ рухається відносно О), то t ¢ ¹t. Це означає, що час досягнення точки А у обох ІСВ різний. Таким чином, згідно теорії Ейнштейна, у кожній із ІСВ, які знаходяться у відносному русі, існує лише власний час, який показує нерухомий в даній системі годинник. Іншими словами, абсолютна одночасність не існує. Але, якщо поняття часу відносне, то і поняття “абсолютний рух” зникає. Абсолютний рух не існує.

Існування граничної швидкості передачі взаємодій (с= 3×10⁸ м/с– швидкість поширення світла у вакуумі) привело до інших формул перетворень, які дозволяють по координатах і часі довільної події, відомих у одній ІСВ (по x ¢, y ¢, z ¢, t ¢), визначати координати тієї ж події (x, y, z, t) у будь-якій іншій ІСВ, рухомій щодо першої у напрямку осі ОХ рівномірно і прямолінійно зі швидкістю V~с. Ці перетворення носять ім’я Лоренца і мають вигляд:

(4.8)

При малих швидкостях (V<<c) перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея. Це означає, що теорія відносності не відкидає перетворень Галілея, а вмі-щує їх, як окремий випадок, справедливий при рухах із малими швидкостями. Із перетворень Лоренца виходить, що швидкість V не може бути рівною або більшою за швидкість світла с, оскільки підкорінний вираз при V=c обертається в нуль, а при V>>с стає від¢ємним, і перетворення втрачають фізичне значення (рух із такими швидкостями неможливий). Таким чином, як просторові, так і часові перетворення не є незалежними, оскільки в закон перетворення координат входить час, а в закон перетворення часу – просторові координати, тобто встановлюється взаємозв'язок простору і часу. Теорія відносності Ейнштейна розглядає нерозривно зв'язані просторові і часові координати, створюючи єдиний чотиривимірний простір-час.

Із перетворень Лоренца випливає ряд наслідків, обумовлених властивостями простору-часу. Розглянемо їх окремо.

1) Відносність одночасності. Початкові дані: у системі О у точках із координатами х ₁ та х ₂ в моменти часу t ₁ і t ₂ відбуваються дві події. У системі О ¢ їм відповідають координати х ¢₁ та х ¢₂, і моменти часу t ¢₁ і t ¢₂. Використовуючи перетворення Лоренца для координат і часу одержуємо, що якщо в системі О дві події є одночасними (t ₁ =t ₂) і відбуваються у одній точці простору (х ₁ =х ₂), то вони є одночасними та просторово співпадаючими і у будь-якій інший ІСВ О ¢ (t ¢₁ =t ¢₂, х ¢₁ =х ¢₂). Якщо ж події в системі О є одночасними (t ₁ =t ₂), але просторово роз'єднані (х ₁¹ х ₂), то в системі О ¢, залишаючись просторово роз'єднаними (х ¢₁¹ х ¢₂), виявляються і неодночасними (t ¢₁¹ t ¢₂).

2) Відносність просторових проміжків (довжини). Нехай твердий стрижень, розташований уздовж осі ОХ ¢, покоїться у системі О ¢, рухомої щодо системи О уздовж осі ОХ зі швидкістю V. Довжина стрижня в системі О ¢ (власна довжина) становить l ₀¢ =x ₂¢- x ₁¢, де х ¢₁ та х ¢₂ – координати початку і кінця стрижня, які не змінюються із часом t ¢, а індекс «0» показує, що в системі О ¢ стрижень покоїться. Довжина стрижня в системі О, відносно якої він рухається зі швидкістю V, дорівнює l=x ₂ -x ₁. Для знаходження l треба виміряти координати кінців стрижня х ₁ та х ₂ в системі О у той самий момент часу t. Їхня різниця і визначатиме довжину стрижня у системі О. Використавши перетворення Лоренца, одержуємо:

(4.9)

Це означає, що довжина стрижня залежить від швидкості його руху щодо системи відліку. Якщо V<<c, то підкорінний вираз прямує до одиниці і l=l ₀, тобто, при малих швидкостях руху довжина стрижня у всіх ІСВ однакова. Якщо V ® с, то чим більша швидкість руху стрижня щодо будь-якої ІСВ, тим менша його довжина, виміряна в цій системі. Цей ефект має назву Лоренцева скорочення довжини. Отже, довжина тіла у напрямку руху не є інваріантною величиною, а залежить від швидкості руху тіла відносно даної ІСВ. Незмінним є лише твердження про те, що тіло, яке покоїться, завжди довше за рухоме (власна довжина тіла максимальна). Причому, це стосується тільки розмірів тіла у напрямку руху. Його поперечні розміри не залежать від швидкості руху і однакові у всіх ІСВ, що безпосередньо виходить із перетворень Лоренца.

3) Відносність часових проміжків (тривалостей). Нехай у деякій точці простору із координатою х, нерухомою щодо системи О (x ₂ =x ₁), відбувається будь- яка подія, тривалістю t ₀ =t ₂ -t ₁ (вона визначається різницею показів годинника цієї системи у момент її початку та закінчення). Тоді, в рухомій системі О ¢ тривалість події становить t=t ₂¢- t ₁¢, причому початок і закінчення події фіксуються за “своїм” годинником, але в різних точках простору (х ¢₁¹ х ¢₂). Застосувавши перетворення Лоренца для часу і взявши їхню різницю, матимемо:

(4.10)

Із цієї формули виходить, що тривалість тієї ж самої події різна в різних ІСВ. Для спостерігача рухомий годинник іде повільніше, ніж його власний, який покоїться. Це явище називають уповільненням часу. Час, відлічуваний за годинником, рухомим разом із тілом, називають власним - це найкоротший час. Ефект уповільнення часу має експериментальне підтвердження. Середній час життя спокою p -мезонів (за годинником, рухомим разом із ними) t ₀»2×10^-8 с. Отже, утворюючись у верхніх шарах атмосфери (на висоті ~30 км) і рухаючись зі швидкостями, близькими до с, вони повинні були б пролітати відстані S»с×t ₀ » 6 м, і не могли б досягати земної поверхні. Але це суперечить дійсності і пояснюється релятивістським ефектом уповільнення ходу часу: для земного спостерігача час життя p -мезонів набагато зростає, і частинки можуть пролітати набагато більші відстані та досягати поверхні Землі. Дослідні дані показують, що рухомі мезони живуть довше, ніж у спокої. Чим більша швидкість руху частинки, тим більший її час життя за земним годинником.

4) Релятивістський закон додавання швидкостей. Класичний закон додавання швидкостей, записаний нами вище, не справедливий при русі ІСВ зі швидкостями, близькими до швидкості світла. Дійсно, нехай спостерігач у космічному кораблі, рухомому щодо Землі із швидкістю V, посилає світловий сигнал у напрямі свого руху. За класичним законом додавання швидкостей, швидкість сигналу щодо земного спостерігача дорівнює (c+V), що суперечить другому постулату Ейнштейна. Тому новим уявленням про властивості простору і часу повинен відповідати і новий закон додавання швидкостей. Цей закон у релятивістській механіці також є одним із наслідків перетворень Лоренца.

Нехай в рухомій уздовж осі ОХ зі швидкістю V ₀ системі О ¢, рухається точка уздовж осі ОХ ¢ зі швидкістю V ¢= dx ¢ /dt. Для визначення швидкості цієї точки щодо нерухомої системи відліку О, треба записати співвідношення, яке зв'язує V та V ¢. Із перетворень Лоренца маємо:

(4.11)

Розділивши чисельник і знаменник правої частини третього співвідношення на dt ¢, одержимо релятивістський закон додавання швидкостей:

(4.12)

Якщо повернутись до розглянутого вище прикладу, то згідно із цим законом, швидкість світлового сигналу щодо земного спостерігача (нерухомої системи відліку О) складає:

(4.13)

Цей результат знаходиться у відповідності до принципу сталості швидкості світла: при додаванні будь-яких швидкостей результат не перевищує швидкості світла у вакуумі, а саме світло поширюється із однаковою швидкістю с з погляду будь-якого спостерігача. Легко переконатись, що при швидкостях V, V ₀ та V ¢, малих у порівнянні зі швидкістю с, то релятивістський закон додавання швидкостей переходить у класичний закон додавання швидкостей.

Зі спеціальної теорії відносності випливають два важливі наслідки, які стосуються взаємозв'язку між масою і швидкістю, масою та енергією. До Ейнштейна маса розглядалась, як стала величина. Але у 1901 році фізиками було винайдено, що маса швидкорухомих електронів зростає при збільшенні їхньої швидкості. При швидкостях руху частинок, малих порівняно зі швидкістю поширення світла, зростання їхньої маси помічене не було. Згідно із теорією відносності, маса тіла має різні значення залежно від швидкості його руху і від вибору ІСВ, у якій виконують її вимірювання. Залежність маси m рухомого тіла від швидкості V його руху

	визначається співвідношенням: (4.14) де m 0 – маса спокою – маса тіла в системі відліку, щодо якої воно покоїться. При V<<c релятивістська маса m пря-мує до m 0. Як у класичній, так і в релятивістській механіці маса є мірою інертності тіла. У релятивістській динаміціінертність тіла зростаєпри зростанні його швидкості:
Рис.4.2.

чим більша швидкість тіла, тим важче її збільшити. Якщо V ® с, то маса тіла прямує до нескінченності (рис.4.2). Тому тіло, яке володіє ненульовою масою спокою m ₀¹0, не може рухатись зі швидкістю, рівною швидкості світла у вакуумі. Із швидкістю світла можуть рухатись фотони, маса спокою яких дорівнює нулю.

У класичній фізиці імпульс тіла визначається формулою: p=m × V. Але маса ру-

	хомих тіл залежить від швидкості, тому релятивістський імпульс дорівнює: (4.15) При малих швидкостях руху порівняно із с, імпульс тіла p= =m 0× V пропорційний швидкості (рис.4.3, крива 2). Але при швидкостях, порівнянних із с, значення релятивістського імпульсу прямують до нескінченності (крива 1). Слід зазна-
Рис.4.3.

чити, що для замкнутої системи і у релятивістській механіці закон збереження імпульсу справедливий. Використовуючи його, а також і закон додавання швидкостей, якраз і одержують формулу (4.14) залежності маси тіла від швидкості його руху.

Згідно із принципом відносності, всі закони природи інваріантні при переході від однієї ІСВ до іншої. Тому і другий закон Ньютона F=dp/dt є інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца, якщо похідна за часом береться від релятивістського імпульсу. Основний закон релятивістської динаміки матеріальної точки має вигляд:

(4.16)

Із цього основного закону релятивістської динаміки виходить:

(4.17)

Виразимо звідси прискорення:

(4.18)

Враховуючи залежність маси від швидкості, можна показати, що зв'язок між прискоренням матеріальної точки і спричиняючою його силою має вигляд:

(4.19)

На відміну від класичної механіки, у релятивістській механіці прискорення в загальному випадку не співпадає за напрямом із спричиняючою його силою. Вони співпадають тільки у двох випадках:

1) На матеріальну точку діє поперечна сила, яка спричиняє зміну швидкості тільки за напрямком (нормальне прискорення), а модуль швидкості і релятивістська маса не змінюються. Оскільки F ^ V, то і скалярний добуток (F×V)= F×V× × cos(p/ 2) = 0, тоді:

(4.20)

2) На матеріальну точку діє поперечна сила, яка викликає зміну швидкості тільки за модулем (тангенціальне прискорення) та зміну маси матеріальної точки. Оскільки F || V, то V ×(F×V)= V ²× F. Тоді:

(4.21)

Очевидно, що поперечна сила надає матеріальній точці більшого прискорення, ніж поздовжня сила, рівна їй по модулю. Ця закономірність експериментально підтверджена і враховується при розрахунку лінійних та циклічних прискорювачів заряджених частинок.

Оскільки зміна швидкості руху V в релятивістській механіці спричиняє за собою зміну маси тіла m, то при цьому відбувається зміна повної енергії тіла, оскільки між масою і енергією існує взаємозв'язок, встановлений Ейнштейном:

(4.22)

Із формули виходить, що будь-якій масі, рухомій m або яка покоїться m ₀, відповідає певна енергія. Якщо тіло знаходиться у стані спокою, то його енергія спокою складає:

(4.23)

Енергія спокою є внутрішньою енергією тіла, яка складається із суми енергій спокою всіх частинок тіла, їхніх кінетичних енергій та потенціальних енергій взаємодії між собою.

У релятивістській механіці закон збереження маси спокою несправедливий. Саме на цьому уявленні засноване пояснення дефекту маси ядра і ядерних реакцій. (Дефект маси полягає у тому, що сума мас спокою окремих складових частин ядра атома більша, ніж маса спокою самого ядра). У теорії відносності справедливий закон збереження релятивістської маси і енергії: зміна повної енергії тіла (або системи) супроводжується еквівалентною зміною її маси:

або (4.24)

Таким чином, маса тіла, яка у класичній механіці служить мірою інертності (перший закон Ньютона) і мірою гравітації (закон всесвітнього тяжіння), у релятивістській механіці має ще сенс енерговмісту тіла. Фізичне значення цієї формули полягає в наступному: існує принципова можливість переходу матеріальних об'єктів, які мають масу спокою, в електромагнітне випромінювання, що не має маси спокою, і при цьому виконується закон збереження енергії. Класичним прикладом цього є анігіляція електрона та позитрона, або утворення пари електрон-позитрон із квантів електромагнітного випромінювання:

(4.25)

У релятивістській динаміці кінетична енергія визначається разницею повної енергії рухомого тіла та його енергії спокою:

(4.26)

При рухах із малими швидкостями (V<<c) це рівняння переходить у класичний вираз для кінетичної енергії E_k=m ₀ ×V ² / 2.

Раніше ми показали, що і імпульс, і енергія будь-якого тіла залежать від швидкості його руху. Знайдемо формулу, що зв'язує їх між собою. Для цього формулу взаємозв'язку маси і енергії зведемо до квадрату:

або (4.27)

Підставивши в праву частину рівняння вираз E=m×c ², одержимо:

(4.28)

Враховуючи, що p=m×V, остаточно матимемо:

або (4.29)

Це означає, що права частина цієї рівності є інваріантною: у будь-яких ІСВ її значення однакове і дорівнює Е₀ ².

Розглянемо випадок, коли маса спокою тіла (або частинки) дорівнює нулю, тобто:

(4.30)

Звідси випливає, що тіло, маючи рівну нулю масу спокою, може володіти відмінними від нуля енергією та імпульсом тільки у тому випадку, якщо воно рухається зі швидкістю світла. До таких частинок відносяться фотони. Отже твердження, що тіло не може рухатись зі швидкістю світла, застосовне лише до тіла із відмінною від нуля масою спокою.

На закінчення відзначимо, що через 90 років після створення теорії відносності немає ніяких експериментальних даних, які ставили б її під сумнів. І навпаки, висновки теорії відносності мають надійні дослідні підтвердження. Наприклад, рух заряджених частинок у прискорювачах розраховується за рівняннями релятивістської динаміки. Успішна робота прискорювачів – доказ справедливості цих рівнянь. Робота атомних електростанцій – ілюстрація правильності твердження про існування енергії спокою. Співвідношення між масою та енергією є основним способом розрахунку енергії зв'язку атомних ядер і дає правильні результати.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З РОЗДІЛУ “КінемаТИка МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ”

Дата добавления: 2014-11-07