Числовые характеристики безотказности невосстанавливаемых объектов

Рассмотренные выше функциональные показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) полностью описывают случайную величину наработки T = {t}. В то же время для решения ряда практических задач надежности бывает достаточно знать некоторые числовые характеристики этой случайной величины и, в первую очередь, среднюю наработку до отказа.

Статистическая оценка средней наработки до отказа

(1)

где t_i – наработка до отказа i-го объекта.

При вероятностном определении средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание (МО) случайной величины T и определяется:

(2)

Используя выражение для плотности распределения отказов

и интегрирование по частям, можно преобразовать (2) к виду

(3)

с учетом того, что P(0) = 1, P() = 0.

Из (3) следует, что средняя наработка до отказа геометрически интерпретируется как площадь под кривой P(t) – рис.4.1.

Рис.4.1

Очевидно, что с увеличением выборки испытаний N средняя арифметическая наработка (оценка ₀) сходится по вероятности с МО наработки до отказа.

МО наработки T₀ означает математически ожидаемую наработку до отказа однотипных элементов, т. е. усредненную наработку до первого отказа.

На практике также представляют интерес условные средние наработки:

1) средняя полезная наработка (₎ определенная при условии, что при достижении наработки t₁ все оставшиеся работоспособными объекты снимаются с эксплуатации;

2) средняя продолжительность предстоящей работы () при условии, что объект безотказно работал на интервале (0, t₁).

Причины использования этих показателей:

1. Высоконадежные объекты (элементы электронных схем), как правило, эксплуатируются меньший срок чем T₀ (t_экс < T₀), т. е. заменяются по причине морального старения раньше, чем успевают наработать T₀.

2. Часто для указанных объектов сокращают период испытаний (проводят до наработок соответствующих их моральному старению), поэтому T₀ в таком случае понимают как среднюю наработку, которая имела бы место в действительности, если бы ИО оставалась такой, какой она была в начальный период испытаний.

Средняя полезная наработка (по аналогии с T₀):

Средняя продолжительность предстоящей работы

Графические понятия и T₀ | _{t > t1} иллюстрируются рис. 2.

Рис.4.2

В то же время средняя наработка не может полностью характеризовать безотказность объекта.

Так при равных средних наработках до отказа T₀ надежность объектов 1 и 2 может весьма существенно различаться (рис. 3). Очевидно, что в виду большего рассеивания наработки до отказа (кривая ПРО f₂ (t) ниже и шире), объект 2 менее надежен, чем объект 1.

Поэтому для оценки надежности объекта по величине ₀ необходимо еще знать и показатель рассеивания случайной величины T = {t}, около средней наработки T₀.

К числу показателей рассеивания относятся дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа.

Рис.4.3

Дисперсия случайной величины наработки:

- статистическая оценка

(4)

- вероятностное определение

(5)

СКО случайной величины наработки:

(6)

Средняя наработка до отказа T₀ и СКО наработки S имеют размерность [ед. наработки], а дисперсия D - [ед. наработки ²].

Контрольные вопросы:

1. Поясните смысл уравнения связи показателей безотказности?

2. Дайте определение статистической оценки и вероятностного представления средней наработки до отказа?

3. Перечислите условные средние наработки до отказа и поясните необходимость их использования?

4. Дайте определение статистических оценок и вероятностного представления характеристик рассеивания случайной величины наработки.

Глава 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ

Дата добавления: 2014-10-15